¿Qué número es $a_{b}= b_{a}$? (Referencia?)

Question

Un estudiante recientemente me preguntó acerca de las soluciones a la ecuación $$a_{b} = b_{a},$$ where the subscript notation $a_{b}$ denotes interpreting the digits of $$in base $b$. It turns out there are tons of non-trivial solutions to this equation, such as$$ 36_{49} = 49_{36}, $$which can be checked since $3(49) + 6 = 153 = 4*(36) + 9$. If you allow yourself "digits" larger than 9, you get even more examples. For one, using $C$ to represent 12 as in hexadecimal,$$ 18C_{270} = 270_{192}.$$ Aquí, que 192 es el número 18C interpretado en base 10, es decir, 100 + 80 + 12. Siempre la interpretación de las bases como si ellos mismos fueran escrito en base 10 es una convención, pero necesario, creo.

De todos modos, mi pregunta es si lo que se sabe acerca de esta ecuación. Parece sencillo para el estado, difíciles de resolver, y completamente inútil. :) Por lo tanto, yo no puedo conseguir que fuera de mi cabeza. Si se ha mirado antes por nadie, me encantaría una referencia o ideas al respecto.

Answer 1

La restricción de mí mismo a los 2 dígitos problema...

Requieren $pq_{xy}=xy_{pq}$ donde estamos trabajando en base a $d$.

$p \times (xy_d)+q=x \times (pq_d)+y$

$p \times (xd+y)+q=x \times (pd+q)+y$

$pdx+py+q=pdx+qx+y$

$py+q=qx+y$

$py-y=qx-x$

$y(p-1)=x(q-1)$

Esto explica por qué hay tantas soluciones: todo lo que necesita es un número que puede ser factorised en al menos dos maneras diferentes.

De pasar a la 3 dígitos problema...

Requieren $pqr_{xyz}=xyz_{pqr}$ donde estamos trabajando en base a $d$.

$p \times (xyz_d)^2+q \times (xyz_d)+r=x \times (pqr_d)^2+y \times (pqr_d)+z$

$p (xd^2+yd+z)^2+q (xd^2+yd+z)+r=x (pd^2+qd+r)^2+y (pd^2+qd+r)+z$

$p (x^2d^4+y^2d^2+z^2+2xyd^3+2xzd^2+2yzd)+q (xd^2+yd+z)+r= x (p^2d^4+q^2d^2+r^2+2pqd^3+2prd^2+2qrd)+y (dp^2+qd+r)+z$

$px^2d^4+py^2d^2+pz^2+2pxyd^3+2pxzd^2+2pyzd+tech-sp^2+qyd+qz+r= xp^2d^4+xq^2d^2+xr^2+2xpqd^3+2xprd^2+2xqrd+ypd^2+yqd+año+z$

... detener ahora!