¿$\cos(x)$ puede ser escrito como una combinación lineal de $e^x$ y $e^{-x}$ utilizando el intervalo de $[0,1]$?

Question

Considere la posibilidad de $C[0,1]$: el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el intervalo de $[0,1]$. Deje $S$ ser un subespacio de $C[0,1]$ donde $S =$ el lapso de $\{e^x, e^{-x}\}$

realiza la siguiente función: $\cos(x)$ pertenecen a $S$? En otras palabras, puede $\cos(x)$ escribirse como una combinación lineal de $e^x$ $e^{-x}$ cuando se trabaja con el intervalo de $[0,1]$?

Mi intuición es que sí, dado que estas funciones no son discontinuos, siempre habrá algunos números reales a y b tales que satisfacen la siguiente ecuación:

$a\cdot e^x + b\cdot e^{-x} = \cos(x)$ todos los $x$$[0,1]$. Yo no sé cómo demostrar que..

Answer 1

No se puede.

Supongamos que $f(x) = a e^x + be^{-x}$ $a,b$ y $f=\cos$ $[0,1]$. Entonces los derivados coincidiría también, que daría a $f'=-\sin$, $f'' = -\cos$. Sin embargo $f'' = f$, así que esto no puede ser verdad.

Answer 2

No. $\cos x$ En $\mathrm{span}\{e^x,e^{-x}\}$ necesitamos tener un % fijo $a,b\in \mathbb R$tal que $\cos x = ae^x+be^{-x}$ % todos $x\in [0,1]$. Enchufar en $x=0,\pi/4,\pi/6$ nos da $$\begin{align} 1 &= a + b\\ \frac{\sqrt 2}{2} &= e^{\pi/4}a+e^{-\pi/4}b\\ \frac{\sqrt 3}{2} &= e^{\pi/6}a+e^{-\pi/6}b\\ \end{Alinee el}$$ y un simple control numérico muestra que éstos son incompatibles.