Funciones trigonométricas expresadas en integrales definidas con funciones de Bessel

Question

Demostrar que $$\frac{\sin(x)}{x}=\int_0^\frac{\pi}{2}J_0(x\cos(\theta))\cos(\theta)\,d\theta \tag{a}$ $ $$\frac{1-\cos(x)}{x}=\int_0^\frac{\pi}{2}J_1(x\cos(\theta))\,d\theta \tag{b}$$ sugerencia: $$\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^{2s+1}(\theta)\,d\theta = \frac{2\cdot 4\cdot6\cdots(2s)}{1\cdot3\cdot5\cdots(2s+1)}$ $

No tengo ni idea de cómo abordar este problema. ¿Alguna sugerencia? Expresar la función seno en forma exponencial pero luego no tienen idea dónde ir desde allí para que puedo termino con la integral como una respuesta indicada arriba.

Answer 1

Tenemos desde $$J_0(x)=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m}{4^m\,m!^2}x^{2m}\tag{1}$ $: %#% $ de #% en una manera similar $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\pi/2}J_0(x\cos\theta)\cos\theta\,d\theta&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m x^{2m}}{4^m\,m!^2}\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta)^{2m+1}d\theta\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m x^{2m}}{4^m\,m!^2}\cdot\frac{4^m\,m!^2}{(2m+1)!}\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m+1)!}=\frac{\sin x}{x}.\end{eqnarray*}$ $ da: $$ J_1(x)=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m}{2\cdot 4^m\, (m+1)\,m!^2}x^{2m+1}\tag{2}$ % $ $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\pi/2}J_1(x\cos\theta)\,d\theta&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m\,x^{2m+1}}{2\cdot 4^m\, (m+1)\,m!^2}\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta)^{2m+1}d\theta\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m\,x^{2m+1}}{2\cdot 4^m\, (m+1)\,m!^2}\cdot\frac{4^m\,m!^2}{(2m+1)!}\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m x^{2m+1}}{(2m+2)!}=\frac{1-\cos x}{x}.\end{eqnarray*}$y $(1)$ puede ser derivado de la representación integral en la Página de Wikipedia para funciones de Bessel.

Answer 2

Es la primera respuesta para ser publicada.

Sugerencia: Utilizar la serie de encendido de la función de Bessel puesto que le dan la identidad siguiente

$$ \int_0^\frac{\pi}{2}\cos^{2s+1}(\theta) \, d\theta = \frac{2\cdot 4\cdot6\cdots(2s)}{1\cdot3\cdot5\cdots(2s+1)} .$$

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