Separación de un conjunto con norma $\thickapprox$ $L^1$ + $L^{\infty}$

Question

Deje $(M, \mathcal{A}, \mu)$ un completo separables probabilidad de espacio. Recordemos que completa significa que cualquier subconjunto de un conjunto medible con cero de la medida es la medida (y tiene medida cero) y separables significa que existe una contables de la familia $E\subset \mathcal{A}$ tal que para cualquier $\varepsilon >0$ y cualquier $B \in \mathcal{A}$ existe $A_k \in E$ tal que $\mu(B\triangle A_k)<\varepsilon$.

Deje $Y$ espacio métrico compacto.

Definimos la familia $\mathcal{F}$, de modo que $\phi \in \mathcal{F}$ sss

1. $\phi$ es medible ($Y$ con borel sigma álgebra)
2. para todos $x\in M$, $\ $ $\phi(x,.): Y \rightarrow \mathbb{R}$ es continuo, es decir, $\phi(x,.)\in (C^0(Y),\Vert . \Vert_0 )$ (supremum norma)
3. $x \mapsto \Vert \phi(x,.) \Vert_0 \in L^1(\mu)$

equipar $\mathcal{F}$ de una norma: $\Vert \phi \Vert_1=\int \Vert \phi(x,.) \Vert_0 d\mu$

A continuación, $(\mathcal{F}, \Vert . \Vert_1 )$ es una de Banach separable espacio.

• Traté de que $(\mathcal{F}, \Vert . \Vert_1 )$ es un espacio de Banach

• Tengo dificultad con la divisibilidad: quiero mostrar mi progreso

utilizando el hecho de que $C^0(Y)$ es separable, y la suposición de que la probabilidad de que el espacio es separable obtenemos: $\lbrace f_i\rbrace $ contables y denso en $C^0(Y)$ $\Gamma= \lbrace \sum _{k=1}^{r} c_k\chi_{A_k} : A_k \in E, c_k\in \mathbb{Q} \rbrace $ contables y denso en $L^1(\mu)$.

Ahora tenga en cuenta que para $\phi \in \mathcal{F}$, $\phi(x,.)$ se puede aproximar por $\lbrace f_i\rbrace $ $\phi(.,y) \in L^1(\mu)$

desde fijo $y$ $$\int \vert\phi(x,y)\vert d\mu(x)\leq \Vert \phi\Vert_1$$ then $\phi(.,y)$ can be approximated by $\Gamma$ pero, ¿cómo se unen estos hechos...

Agradezco la paciencia de leer mi consulta y espero que puedan ayudar

Answer 1

Lo que quiero hacer es pensar en su normativa espacio como $L^1(M; C^0(Y))$, el espacio de Banach de integrar los mapas de toma valores en el espacio de Banach $C^0(Y)$. Más generalmente deje $(V,\|\cdot \|_V$ ser cualquiera de Banach separable espacio; a continuación, $L^1(M;V)$ es separable. Para ver esto de tomar una contables denso conjunto de $N=\{f_i\}_{i\in \mathbb{N}}\subset V$ y considerar la colección de $ L$ de las combinaciones lineales $$ \sum_{i=0}^m f_i\chi_{E_i}$$ where $f_i\N$, $E_i\in E$ and $m\in \mathbb{N}$ which belong to $L^1(M;V)$, i.e. $$\int_M\|\sum_{i=0}^m f_i\chi_{E_i}\|_Vd\mu<\infty.$$ Let us show this (countable) collection is dense in $L^1(M;V)$.

En primer lugar, tome $\phi\in L^1(M;V)$. Para los números naturales $m,i$ deje $A_{i,m}'= \phi^{-1}(B(f_i,2^{-m}))\subset M$. Aquí $B(f,r)=\{g\in V: \|f-g\|_V<r\}$. Este conjunto es medible (en su caso particular, la medición de este conjunto sigue a partir de su asunción de que la $x\mapsto \|\phi(x,\cdot)\|_0$ es integrable y el Pettis mensurabilidad teorema ) y podemos modificarlo para obtener una partición de $M$, mediante el establecimiento de $$ A_n^m:=A_{n,m}'\setminus \bigcup_{i<n}A_{i,m}.$$ Now $$\| \sum_{i} f_i\chi_{A_i^m}-\phi\|_V\le 2^{-m}$$ for every (almost every) $x\in M$ by construction, and thus the sequence $\displaystyle g_m= \sum_{i} f_i\chi_{A_i^m}$ converges to $\phi$: $$\int_M\|g_m-\phi\|_V d\mu\le 2^{-m}.$$

Para cada $i,m$, se puede elegir un conjunto $B_i^m$ de los contables de la colección de $E$, de modo que $$\mu(B_i^m\triangle A_i^m)<2^{-i-m}\|f_i\|_V^{-1}.$$ Hence $$ \int_M \|g_m-\sum_{i} f_i\chi_{B_i^m}\|_Vd \mu \le \sum_i \|f_i\|_V\int_M|\chi_{A_i^m}-\chi_{B_i^m}|d\mu<\sum_i \|f_i\|_V(\|f_i\|_V^{-1} 2^{-i-m})=2^m,$$ since $$\int_M|\chi_{A_i^m}-\chi_{B_i^m}|d\mu= \mu(B_i^m\triangle A_i^m).$$ Therefore we may find a sequence of linear combinations from $L$, converging to $\phi$ en la norma.