¿Cuáles son las diferencias entre anillos, grupos y campos?

Question

Anillos, grupos y campos parecen similares. ¿Cuáles son las diferencias entre ellos, tanto en la definición como en cómo se utilizan?

Answer 1

¡Deberían sentirse similares! De hecho, cada anillo es un grupo, y cada campo es un anillo. Un anillo es un grupo abeliano con una operación adicional, donde la segunda operación es asociativa y la propiedad distributiva hace que las dos operaciones sean "compatibles".

Un campo es un anillo tal que la segunda operación también satisface todas las propiedades de un grupo abeliano (después de desechar la identidad aditiva), es decir, tiene inversos multiplicativos, identidad multiplicativa y es conmutativo.

Answer 2

Tienes razón al pensar que las definiciones son muy similares. La diferencia principal entre grupos y anillos es que los anillos tienen dos operaciones binarias (generalmente llamadas suma y multiplicación) en lugar de solo una operación binaria.

Si olvidas la multiplicación, entonces un anillo se convierte en un grupo con respecto a la adición (la identidad es 0 y los inversos son los negativos). ¡Este grupo siempre es conmutativo!

Si olvidas la adición, entonces un anillo no se convierte en un grupo con respecto a la multiplicación. La operación binaria de multiplicación es asociativa y sí tiene una identidad 1, pero algunos elementos como 0 no tienen inversos. (Esta estructura se llama monoido)

Un anillo conmutativo es un cuerpo cuando todos los elementos no nulos tienen inversos multiplicativos. En este caso, si olvidas la adición y quitas el 0, los elementos restantes sí forman un grupo bajo la multiplicación. Este grupo nuevamente es conmutativo.

Un cuerpo de división es un anillo (no necesariamente conmutativo) en el cual todos los elementos no nulos tienen inversos multiplicativos. De nuevo, si olvidas la adición y quitas el 0, los elementos restantes sí forman un grupo bajo la multiplicación. Este grupo no es necesariamente conmutativo. Un ejemplo de un cuerpo de división que no es un campo son los cuaterniones.

Answer 3

Un grupo es una abstracción de la adición y sustracción, aunque la operación del grupo no necesariamente sea conmutativa. Pero lo importante es que hay una operación, algo parecido a la adición, y esta operación puede ser invertida, por lo que también hay algo similar a la sustracción.

Un anillo añade a esto la multiplicación, pero no necesariamente la división.

Un campo añade la división a esto.

(Yendo en la dirección opuesta desde un grupo, tenemos el monoide, que tiene la adición pero no la sustracción).

Answer 4

No voy a explicar qué es un anillo o un grupo, porque eso ya se ha hecho, pero agregaré algo más. Una razón por la que los grupos y anillos se sienten similares es que ambos son "estructuras algebraicas" en el sentido del álgebra universal. Por ejemplo, la operación de cocientar a través de un subgrupo normal (para un grupo) y un ideal bilateral (para un anillo) son básicamente instancias de cocientar a través de una relación de equivalencia invariante en el álgebra universal. Un campo, por el contrario, no es realmente una construcción del álgebra universal (porque la operación $x \to x^{-1}$ no está definida en todas partes) - por eso los campos libres no existen, por ejemplo - aunque son un caso especial de anillos.

Answer 5

Cualquier grupo $G$ es isomorfo a su grupo opuesto $G^{\text{op}}$ a través del mapa $g \mapsto g^{-1}$, sin embargo no existe un mapa natural para anillos y en general no es cierto que un anillo sea isomorfo a su anillo opuesto.

Por lo tanto, siempre es posible obtener una acción derecha de un grupo $G$ si se da una acción izquierda, mientras que puede que no sea posible dotar a un módulo izquierdo $R$ con una estructura de módulo derecho $R$.