Aproximadamente $\int_0^{\pi /2} \frac{ds}{\sqrt{1-x\sin^2s}}$

Question

Estoy tratando de aproximar la siguiente integral $$K(x)=\int\limits_0^{\pi /2} \frac{ds}{\sqrt{1-x\sin^2s}}$$ con $0<x<1$ . Necesito demostrar que para x cercano a uno que $K(x)\sim -\frac{1}{2}\ln(1-x)$ .

Mi primer intento fue ampliar la función de Taylor $f(x)= (1-x\sin^2s)^{-1/2}$ sobre $x=1$ . Hice esto usando $f(x)\approx f(1)+f'(1)(x-1)$ . He integrado el resultado y he comprobado que $K(x)\sim \left[\frac{5-x}{4}\ln|\sec s + \tan s|\right]_0^{\pi/2} - \left[\frac{1-x}{4}\sec s \tan s \right]_0^{\pi/2}$ que va al infinito cuando $s=\pi/2$ .

No se me ocurre otra forma de enfocar esto, así que cualquier consejo sería útil.

Answer 1

La integral tal y como está escrita es la integral elíptica completa del primer tipo y se puede expresar en términos de función hipergeométrica :

$$K(x) = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac12,\frac12;1;x)\tag{*1}$$

Sabemos cuando $\gamma = \alpha + \beta$ , $\alpha$ y $\beta \ne 0, -1, -2, \ldots$ , $|\arg(1-x)| < \pi$ , $|1-x| < 1$ la función hipergeométrica tiene la siguiente expansión cerca de $x = 1$ :

$$\begin{align} \,_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;x) = & \frac{-\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{n!^2}(1-x)^n \times\\ & \left\{ \psi(\alpha+n)+\psi(\beta+n) -2\psi(1+n) + \log(1-x) \right\} \end{align}$$ donde $(t)_n$ es el aumento Símbolo del martillo pilón y $\psi(t)$ es el función digamma .

Sustituya esto en $(*1)$ para $x$ cerca de $1$ Tenemos hasta $O((1-x)\log(1-x))$ ,

$$K(x) \sim -\frac12 \left\{ 2\psi(\frac{1}{2}) - 2\psi(1) + \log(1-x)\right\} = \log 4 - \frac12\log(1-x)$$

En realidad, podemos derivar este término principal por medios elementales.
Dejemos que $\delta = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$ , $u = \cos s = \delta \sinh\theta$ tenemos

$$\begin{align} K(x) = & \frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ds}{\sqrt{\delta^2 + \cos^2\!s}}\\ = & \frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^1 \frac{du}{\sqrt{\delta^2 + u^2}\sqrt{1-u^2}}\\ = & \frac{1}{\sqrt{x}}\left\{ \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{\delta^2 + u^2}} + \int_0^1 \frac{1-\sqrt{1-u^2}}{\sqrt{\delta^2+u^2}} \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} \right\}\\ = & \frac{1}{\sqrt{x}}\left\{ \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{\delta^2 + u^2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin s}{\sqrt{\delta^2 + \cos^2\!s}} ds \right\}\\ = & \frac{1}{\sqrt{x}}\left\{ \int_0^{\sinh^{-1}\frac{1}{\delta}} d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin s}{\sqrt{\delta^2 + \cos^2\!s}} ds \right\}\\ \end{align}$$ El $2^{nd}$ La integral en el lado derecho tiene un límite finito como $\delta \to 0$ . Si lo sustituimos por su límite, introduciremos un error que no afectará nuestra determinación del término principal. Hasta $o(1)$$\color {azul}{^{[1]}} $, we find: $$\begin {alinear} K(x) \sim & \frac {1}{ \sqrt {x}} \left\ { \sinh ^{-1} \frac {1}{ \delta } + \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \frac {1- \sin s}{ \cos s} ds \right\ } \\ = & \frac {1}{ \sqrt {x}} \left\ { \log\left ( \frac {1+ \sqrt {1+ \delta ^2}}{ \delta } \right ) + \log 2 \right\ } \\ = & \frac {1}{ \sqrt {x}} \left\ { \log\left ( \frac { \sqrt {x}+1}{ \sqrt {1-x}} \right ) + \log 2 \right\ } \\ \sim & (1 + O(1-x)) \left\ { \log\left ( \frac {1 + O(1-x) + 1}{ \sqrt {1-x}} \right ) + \log 2 \right\ } \\ \sim & \log 4 - \frac12\log (1-x) + O((1-x) \log (1-x)) \end {align}$$ recuperando el término principal como se esperaba.

Notas

• $\color{blue}{[1]}$ Un análisis más cuidadoso muestra que el error introducido en este paso es del orden de $O(\delta^2\log\delta) = O((1-x)\log(1-x))$ .