Hacer una prueba precisa de 'Aut $(Q_8)\cong S_4$'

Question

Sé que, con un poco de maquinaria, como para demostrar que Aut$(Q_8)\cong S_4$. Mi pregunta aquí es acerca de no cómo probar, pero se trata de una prueba incompleta (me siento) dada por un estudiante para mí (que debe ser, posiblemente, en algún lugar en línea, ya que no es tan fácil hacerse la idea de que su prueba, creo.)

Considere la posibilidad de un cubo, y la etiqueta $i,-i$ en un par de caras opuestas; de igual manera poner $j,-j$ $k,-k$ en otras caras. Desde el grupo de rotaciones del cubo es $S_4$, Aut$(Q_8)$$S_4$.

Cualquiera puede hacer este argumento preciso?

Answer 1

Como SpamIAm dice en su solución, $-1$ $1$ debe ser fijada por cualquier automorphism $\phi$. Por otra parte, desde la $i$ $j$ generar el grupo, un automorphism está determinado por las imágenes de $i$$j$. Hay seis posibilidades a la izquierda para $\phi(i)$ y en la mayoría de los cinco para $\phi(j)$. De hecho, hay en la mayoría de los cuatro, ya que $\phi(-i) = \phi(i^3) = \phi(i)^3$ ya está decidido. Por lo tanto, $Q_8$ tiene más de $24$ automorfismos.

Todo lo que queda ahora es ver que cada rotación del cubo es en realidad un automorphism del grupo. Pero es bien sabido que cada rotación en $\mathbb{R}^3$ corresponde a algunos de asignación de $x \mapsto qxq^{-1}$ limita a la pura cuaterniones, y esta asignación es un interior automorphism de el anillo de los cuaterniones.

Answer 2

Primera nota de que $-1$ es el elemento único de la orden de $2$ $Q_8$ $\sigma(-1) = -1$ cualquier $\sigma \in \text{Aut}(Q_8)$. La asignación de $i,j,k$ para el estándar de la base de vectores $e_1, e_2, e_3$ $\mathbb{R}^3$ induce un inyectiva homomorphism $\varphi: \text{Aut}(Q_8) \to \text{GL}_3(\mathbb{R})$: dado $\sigma \in \text{Aut}(Q_8)$, las imágenes de $\sigma(i),\sigma(j),\sigma(k)$ forma una base para $\mathbb{R}^3$, por lo tanto $\sigma$ induce un único (invertible) transformación lineal. Por otra parte, desde la $\pm e_1, \pm e_2, \pm e_3$ forma un ortonormales , entonces la imagen de a $\varphi$ se encuentra dentro del grupo ortogonal $O_3$. Desde $\sigma$ corrige $-1$, entonces la inducción de la transformación lineal $\varphi(\sigma)$ preserva orientación, de ahí la imagen de $\varphi$ se encuentra dentro de la especial ortogonal grupo $SO_3$. Por construcción, $\varphi(\sigma)$ mapas del cubo centrado en el origen con lado de longitud $2$ a, por lo tanto, produce una orientación-preservar la simetría del cubo. Todavía tenemos que demostrar que $\varphi$ es surjective, es decir, dada una simetría $T$ de el cubo, el mapa en $Q_8$ inducidos por la acción de $T$ sobre la base $e_1, e_2, e_3$ es en realidad un homomorphism, pero no he pensado a través de la prueba todavía.

(Sólo como un aparte, creo que también se podría tratar de trabajar a través de $\mathbb{F}_3 = \{-1,0,1\}$ y muestran que $\text{Aut}(Q_8) \cong \text{SO}_3(\mathbb{F}_3)$.)