¿Ejemplo de un modelo de teoría de conjuntos donde el axioma de extensionalidad no tiene?

Question

Recientemente he comenzado un curso de teoría de conjuntos y se dijo que un modelo de la teoría de conjuntos se compone de una colección no vacía $U$ de los elementos y una colección no vacía $E$ de los pares ordenados $(u,v)$, los componentes de los cuales pertenecen a $U$. Entonces los elementos de a $U$ se establece en el modelo y un conjunto de $u$ se interpreta como un elemento de $v$ si $(u,v) \in E$. También se dijo que el $U$ también puede ser un conjunto y, a continuación, $E$ es una relación en el conjunto de $U$, de modo que el par ordenado $(U,E)$ es un grafo dirigido y a la inversa, cualquier ordenó gráfico de $(U,E)$ puede ser utilizado como un modelo de la teoría de conjuntos.

Ha habido ejemplos de diferentes modelos de ahora, donde algunos de los axiomas de ZFC no sostenga y algunos lo hacen, pero el axioma de extensionality siempre ha sostenido y yo, por alguna razón, no parecen comprender lo suficiente de ese axioma y su uso. ¿Puede alguien decir un ejemplo de algunas de las colecciones $E$ $U$ donde el axioma de extensionality ¿no?

Answer 1

El axioma de extensionality dice:

$$\forall x\forall y\left(x=y\leftrightarrow \forall z\left(z\in x\leftrightarrow z\in y\right)\right)$$

Obviamente, si dos conjuntos son iguales, tienen los mismos elementos. Con el fin de violar este axioma necesitamos tener diferentes conjuntos de que el modelo podría pensar que tienen los mismos elementos.

Si sólo desea un modelo de conjuntos en los que el axioma de extensionality no se sostiene, considerar para$a\neq b$: $$\left(U=\Big\{\{a,b\},\{a\},a\Big\}, \in\right)$$

Tenemos que $a\in\{a\}$, e $a\in\{a,b\}$. Desde $a\neq b$ tenemos que $\{a\}\neq\{a,b\}$, sin embargo para todos los $x\in U$ tenemos $x\in\{a\}\leftrightarrow x\in\{a,b\}$.

Esto es debido a que $U$ no conoce acerca de la $b$. Sólo se sabe que $\{a,b\}$ $\{a\}$ son dos seres distintos. Es incapaz de decir por qué, en términos de $\in$ relación.

Los problemas comienza cuando desea más axiomas. El más axiomas uno quiere tener, el más complicado de su universo tendrá que conseguir.

Answer 2

El punto de el axioma de extensionality es evitar la situación en la que la forma en la que el conjunto se define, no sólo de sus miembros, afecta a la cual establece que contenga el conjunto. Así que, para hacer extensionality fallar necesitará un modelo en el que hay dos conjuntos de $A,B$ que tienen los mismos elementos, pero no son iguales.

La manera más fácil de hacer esto es tomar cualquier conjunto $A$, hacer una copia de ella, el color de una copia roja, y el color de la otra copia azul. Declarar que cualquier conjunto que fue un miembro de $A$ es un miembro de la red-$A$ y azul-$A$, y que cualquier conjunto que contenía $A$ contiene rojo-$A$ y azul-$A$. El resultado lo va a ser todavía un modelo de ZFC en la lengua con $\in$ (sin $=$ aún).

El punto de el axioma de extensionality, es decir que no se produce esta situación: no hay dos juegos que son de alguna manera diferentes a pesar de tener todos los mismos elementos.

De hecho, una modificación del axioma de extensionality nos permite definir los $=$ en términos de $\in$, al declarar que dos conjuntos de ser considerados iguales si tienen los mismos miembros. Para realizar este trabajo, podemos reescribir el axioma de extensionality sin $=$ como:

$$ (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \B) \Rightarrow (\forall y)(A \y \Leftrightarrow B \y) $$ Entonces podemos definir $$ A = B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B) $$ y podemos probar la sustitución de los axiomas de la igualdad en términos de igualdad libre de axioma de extensionality y la definición de $=$.

Esto se puede hacer en cualquier modelo de ZFC en la lengua con $\in$ (satisfacción de la versión modificada de extensionality) para obtener un modelo de ZFC en el idioma ($\in$, $=$), incluyendo la habitual axioma de extensionality. Pero aquí $=$ no puede ser interpretado como la igualdad verdadera relación, por ejemplo, si el modelo original tenía red fija y azul conjuntos. Si queremos que la $=$ símbolo debe interpretarse como una real igualdad, tenemos a mod a cabo por la relación de equivalencia inducida por la interpretación de $=$ en nuestro modelo. En el caso de $=$ es tratado como un símbolo lógico que debe ser interpretada como una verdadera igualdad, el punto de que el axioma de extensionality es para asegurarse de que este modding de salida ya se ha realizado: si queremos definir a los conjuntos de "igualdad" de esta manera indirecta, entonces son ya iguales.

Answer 3

No he revisado todos los detalles, pero espero que funcionaría simplemente tomar un modelo de ZFC y, a continuación, retire el conjunto vacío del universo. Todos los demás grupos y sus relaciones de pertenencia permanecer sin cambios. El nuevo modelo todavía tiene un conjunto vacío (a saber, el que antes era $\{ \emptyset\}$), y creo que todos los de los otros axiomas, excepto extensionality sería todavía se mantienen, a pesar de la verificación de esto podría ser tedioso.

Sin embargo, las dos personas que solían ser $\{\{\emptyset\}\}$ $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ ahora tienen los mismos elementos, pero el conjunto que solía ser $\{\{\{\emptyset\}\}\}$ contiene uno pero no el otro, violando extensionality.

Answer 4

Ver Teorema 2 (p. 157) en el siguiente trabajo, que está libremente disponible en internet:

Alexander Abian y Samuel LaMacchia, "sobre la consistencia y la independencia de algunos axiomas de la fijar-teóricos", diario de Notre Dame de la lógica Formal 19 (1976), 155-158.

http://projecteuclid.org/Euclid.ndjfl/1093888220