Definición general de ángulo / rotación

Question

Es bien sabido que en el plano Euclidiano una rotación sobre el origen puede ser calculada con la fórmula

$$R_{\theta}(x,y) = \big(\cos(\theta)x-\sin(\theta)y, \sin(\theta)x+\cos(\theta)y\big)$$

Es algo bien conocido que en la hiperbólico (Minkowski) plano hiperbólico de rotación (de Lorentz boost) sobre el origen puede ser calculada con la fórmula

$$HR_{\phi}(t,x) = \big(\cosh(\phi)t - \sinh(\phi)x, -\sinh(\phi)t+\cosh(\phi)x\big)$$

Soy bien consciente de que, dado un producto interior podemos definir el ángulo entre dos vectores $u,v$$\cos(\theta) = \dfrac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\|v\|}$. Pero el plano hiperbólico (pensado como un espacio vectorial) no es un producto interior en el espacio. Que yo sepa la diferencia entre el plano Euclidiano y el plano hiperbólico es que ellos están equipados con diferentes formas cuadráticas. En el plano Euclidiano que la forma cuadrática se puede utilizar para definir un producto interior, pero no en el plano hiperbólico como no es positiva definida.

Esto me lleva a pensar que hay una generalización de la fórmula para los ángulos (o rotaciones de uno parece ser expresable en términos de la otra) para cuadrática espacios. ¿Alguien sabe de una forma de extender el concepto de ángulo de inclinación/ rotación general cuadrática espacios?

Answer 1

Mientras que los indefinidos forma bilineal para el plano hiperbólico técnicamente no cuenta como un producto interior, es todavía un bilineal simétrica forma, y que es realmente la más adecuada generalización de los dos.

Cosas como la ortogonalidad y la rotación pueden ser y son definidos de la misma manera que ellos están en el verdadero producto interior de los espacios. Ortogonal transformaciones son aquellos preservación de la forma bilineal, y las rotaciones son el subconjunto de aquellos con determinante 1, reflexiones son aquellos con determinante -1 etc.

Por supuesto, la forma bilineal corresponde a la forma cuadrática que usted ha mencionado. Tal vez usted no confiar en que la analogía puede ser estirado hasta un tiempo indefinido de formas. Todavía es sin duda muy útil. La forma cuadrática no sugiere longitud ( sin juego de palabras), pero sé que mientras que la interpretación de los espacios reales con indefinido métricas para la relatividad, a veces llaman a la cantidad de 'intervalo' en el espacio-tiempo, en lugar de la longitud. Por supuesto, la forma puede ordenar la línea de tiempo, lightlike, y spacelike vectores, demasiado.

La teoría de las formas bilineales es muy rico y accesible. Recomiendo Kaplansky del libro de álgebra Lineal y geometría para esto, pero el disfrute de la exposición pueden variar dependiendo de su temperamento. Leyendo esto, me enteré de por qué los espacios indefinida formas son tan útiles, si no la más útil, en comparación con el definitivo espacios.