Soluciones enteras de $3a^2 - 2a - 1 = n^2$

Question

Tengo una ecuación $3a^2 - 2a - 1 = n^2$ , donde $a,n \in \mathbb{N}$ .

Lo puse en Wolfram Alpha y además de todo da solución entera: ver aquí .

Para otra ecuación (digamos, $3a^2 - 2a - 2 = n^2$ , donde $a,n \in \mathbb{N}$ ) Wolfram Alpha no proporciona soluciones enteras: aquí .

Podría decirme, por favor:

1. ¿Cómo determina Wolfram Alpha la existencia de las soluciones enteras?
2. ¿Cómo los encuentra?
3. ¿Qué debo aprender para poder hacer lo mismo con un lápiz y un papel (si es posible)?

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que Ecuación de Pell (y variantes) sería útil.

La primera se puede refundir como

$$9a^2 - 6a - 3 = 3n^2$$ es decir

$$(3a-1)^2 - 4 = 3n^2$$

Usted busca soluciones para

$$ x^2 - 3y^2 = 4$$ tal que $x = -1 \mod 3$ .

Existen técnicas estándar para resolver la ecuación de Pell y sus variantes (véase la página wiki enlazada anteriormente y la página de mathworld aquí: http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html ) y supongo que Wolfram Alpha está utilizando uno de ellos.

Para el segundo creo que tenemos

$$x^2 - 3y^2 = 7$$

que no tiene soluciones, considerando el módulo $4$ (como señala Adrián Barquero).

Answer 2

Lagrange demostró cómo reducir una ecuación cuadrática general Diophatine a la forma Pell.

$$\rm a\ x^2 + b\ xy + c\ y^2 + d\ x + e\ y + f\ =\ 0 $$

se reduce a una ecuación de Pell de la siguiente manera: poner $\rm\ D = b^2-4ac,\ E = bd-2ae,\ F = d^2-4af\:.\ $ Entonces

$$\rm D\ Y^2\ =\ (D\ y + E)^2 + D\ F - E^2,\quad\quad Y\ =\ 2ax + by + d $$

Por lo tanto, si ponemos $\rm\quad\ \ X\: =\: D\ y + E,\quad\ \ N\: =\: E^2 - D\ F\quad\ \ $ obtenemos la ecuación de Pell

$$\rm X^2 - D\ Y^2\ =\ N $$

Ahora puedes aplicar las técnicas estándar para resolver las ecuaciones de Pell. Son demasiado complejas para describirlas aquí. Sin embargo, puede obtener descripciones completas paso a paso de la solución de cualquier ecuación de Pell utilizando el programa de Darío Alpern Solucionador de ecuaciones cuadráticas de dos variables enteras. Para algunas optimizaciones recientes del algoritmo de Lagrange, véase este documento H. C. Williams et al. Una nueva mirada a una vieja ecuación.

Answer 3

La primera también se puede reducir fácilmente a la pitagórica:

$$3a^2 - 2a - 1= 4a^2-(a^2+2a+1) \,.$$

Así,

$$n^2+(a+1)^2=(2a)^2 \,.$$