¿Son los números irracionales completamente aleatorios?

Question

Por lo que sé, los números decimales de cualquier irracional aparecen al azar sin mostrar ningún patrón. Por lo tanto, puede que no sea posible predecir el $n^{th}$ decimal sin ningún cálculo. Así que me preguntaba si existe la posibilidad de que en algún lugar de la lista infinita de números decimales en un irracional podría revelar algo como nuestra fecha de nacimiento en orden (por ejemplo: 19901225) o un incluso un párrafo en binario que revelaría algo significativo.

Ya que esta una secuencia infinita de números aleatorios ;

• ¿Es posible calcular la probabilidad de que un cumpleaños (digamos 19901225) aparezca en orden dentro de la secuencia?
• ¿La probabilidad se aproxima a 1 al tratarse de una serie infinita?

Cualquier discusión y debate serán bienvenidos.

Answer 1

He aquí dos ejemplos de números irracionales que no son "completamente aleatorios":

$$.101001000100001000001\ldots\\.123456789101112131415\ldots$$

Observe la cadena $19901225$ no aparece en el primer número, y aparece infinitas veces en el segundo.

Ahora, en cuanto a su pregunta sobre la probabilidad, consideremos el intervalo $[0,1]$ . Utilizando una versión modificada del argumento en esta pregunta se puede demostrar que dada cualquier cadena finita de dígitos, el conjunto de todos los números que contienen la cadena en su expansión decimal es medible, y tiene medida $1$ .

Así que, como sospechas, si elegimos un número al azar entre $0$ y $1$ la probabilidad de que tenga la cadena $19901225$ en su expansión decimal es efectivamente $1$ . Además, de forma más sorprendente, y quizás un poco espeluznante, la probabilidad de que elijamos un número que contenga la historia de tu vida en binario es también $1$ .

Answer 2

No necesariamente. Considere $$0.1010010001000010000010000001....$$

Algunos números irracionales hacer tienen la propiedad que buscas. Se llaman " disyuntiva números".

Answer 3

Existe una noción sobre número normal véase http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number que básicamente dice que toda secuencia de dígitos de una longitud dada es equiprobable. Se sabe que el conjunto de números normales tiene medida completa y por tanto es denso. Nótese que la normalidad depende de la base. Así que hay una noción de normalidad absoluta que dice que un número es normal en todas las bases. $\pi$ , $\sqrt(2)$ , $e$ se cree que son normales pero, que yo sepa, no hay pruebas de ello. Por cierto, estoy bastante seguro de que tu fecha de nacimiento ya aparecía en el decimal conocido de $\pi$ .

Answer 4

Tal vez le interese un poco de lectura ;) http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem