Primas inertes en campo cuadrático de clase uno

Question

Dejemos que $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ sea un campo cuadrático imaginario de clase uno (es decir, cada ideal en $\mathcal{O}_K$ es principal, es decir $\mathcal{O}_K$ es un dominio ideal principal). Sea $d_K$ sea el discriminante de $K$ .

¿Cómo se demuestra que todos los primos menores que $\frac{1 + |d_K|}{4}$ son inertes en $K$ ?

Answer 1

Dejemos que $p$ un primo. Si ${\frak P}$ es un ideal primo de $O_K$ por encima de $p$ entonces la suposición del número de clase implica que ${\frak P}=\langle \alpha\rangle$ para algunos $\alpha\in O_K$ . Sea $\alpha=a+b\theta$ , donde $\theta$ es $\sqrt{-d}$ o $(1+\sqrt{-d})/2$ dependiendo. Demuestre que si $\alpha$ no es un entero racional, entonces $N(\alpha)\ge(1+|d_K|)/4$ .

Si $p$ se divide, entonces debemos tener $N(\alpha)=p$ . Esto es claramente imposible para un entero racional $\alpha$ . Por lo tanto, el resultado anterior muestra que $p\ge(1+|d_K|)/4$ .

Answer 2

Pues bien, según Stark-Heegner, sólo hay 9 campos de este tipo, correspondientes a los valores de $-d$ $$−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.$$ Así, la afirmación puede verificarse mediante un cálculo finito (se deja al lector ;)).