Puede $a^2+b^2+2ac$ ser un cuadrado perfecto si $c\neq \pm b$?

Question

Puede $a^2+b^2+2ac$ ser un cuadrado perfecto si $c\neq \pm b$?

$a,b,c \in \mathbb{Z}$.
He tratado de algún tipo de manipulación, pero aún llegó con nada. Por favor, ayudar.

Contexto Actual de la cuestión es:
Vamos a decir que tengo una ecuación cuadrática $x^2+2xf(y)+25$ que tengo que hacer un cuadrado perfecto de alguna manera. Así que puedo concluir que $f(y)=\pm5$
$($i.e $x^2+2xf(y)+25$ es cuadrado perfecto sólo si $f(y)=\pm5)$, o hay otras posibilidades para $f(y)$?

Nota:$x$ $y$ no están relacionados de ninguna otra manera.

Answer 1

Una pequeña manipulación de cambios el problema en una forma más familiar. Estamos interesados en la ecuación de Diophantine $a^2+b^2+2ac=y^2$. Completar el cuadrado. Así que nuestra ecuación es equivalente a $(a+c)^2+b^2-c^2=y^2$. Escribir $x$$a+c$. Nuestra ecuación se convierte en $$x^2+b^2=y^2+c^2.\tag{$1$}$$ Con el fin de deshacerse de trivial soluciones, supongamos que estamos buscando soluciones de la ecuación original en los positivos enteros. A continuación,$x=a+c\gt c$. La condición de $b\ne c$ significa que somos, en esencia, tratando de expresar los números enteros como una suma de dos cuadrados de dos maneras diferentes.

El menor entero positivo que es una suma de dos distintas positivo cuadrados en dos formas diferentes es$65$, $8^2+1^2$ también $7^2+4^2$. Así que podemos tomar $x=a+c=8$, $b=1$, y $c=7$, dando la solución $a=1$, $b=1$, $c=7$. O de lo contrario nos puede llevar a $c=4$, dando la solución $a=3$, $b=1$, $c=4$. O de lo contrario nos puede llevar a $x=a+c=7$.

El siguiente valor entero que es la suma de dos distintas positivo cuadrados en dos formas diferentes es $85$. Podemos utilizar las descomposiciones $85=9^2+2^2=7^2+6^2$ para producir soluciones de nuestra ecuación original.

Teoría General: Supongamos que podemos expresar $m$ $n$ como una suma de dos cuadrados, decir $m=s^2+t^2$$n=u^2+v^2$. Entonces $$mn=(su\pm tv)^2+(sv\mp tu)^2.\tag{$2$}$$ Identidad $(2)$ es muy importante, a veces llamado el Brahmagupta Identidad. Está conectado, entre otras cosas, con la multiplicación de números complejos, y la suma de las identidades para el seno y coseno.

Identidad $(2)$ puede ser utilizado para producir infinitamente muchas soluciones no triviales de la Ecuación ( $(1)$ , y por lo tanto infinitamente muchas soluciones de nuestra ecuación original. Por ejemplo, cualquier primos de la forma $4k+1$ puede ser representada como una suma de dos cuadrados. A partir de dos números primos $m$ $n$ de esta forma, se puede utilizar la Identidad de $(2)$ para obtener dos esencialmente diferentes representaciones de $mn$ como una suma de dos cuadrados, y por lo tanto las soluciones de nuestra ecuación original.

Answer 2

Siempre se puede hacer $a^2=u^2+v$ algunos $u,v\in\mathbb{Z}$,$a^2+b^2+2ac=u^2+v+b^2+2ac=u^2+(2ac+v)+b^2$.

Si $2ac+v = 2ub$, entonces es un cuadrado perfecto.

El ejemplo dado por Viejo Juan trabaja causa en la que puede escribir $6^2=4^2+20$, e $2\cdot 6\cdot 1 + 20= 2\cdot 4\cdot 4$. En este caso, $u=4, v = 20$.

Answer 3

Sólo un corto de observación: queremos

$$d^2=a^2+b^2+2ac=(a+b)^2-2ab+2ac $$

Escribir $d=a+b+e$ entonces queremos

$$(a+b)^2+2ae+2be+e^2=(a+b)^2-2ab+2ac$$

o

$$c= \frac{2ae+2be+e^2+2ab}{2a}=e+b+\frac{2be+e^2}{2a} $$

Esto nos dice que siempre que $2a|2be+e^2$ tenemos una solución, en particular si $2a |e$, se obtiene una solución.

Si $e=2af$, entonces obtendrá un infinito clase de soluciones por

$$a=a \,;\, b=b \,;\, c=2af+b+2bf2af^2 \,;\, a^2+b^2+2ac=(a+b+2af)^2$$

Realmente se puede clasificar todas las soluciones en términos de $$\frac{2be+e^2}{2a} \in Z$$

Answer 4

Deje $n\ge3$ ser un entero impar. Entonces $$ (n\a+b)^2=n^2a^2+2\n\,\, b+b^2=a^2+b^2+2\,\, c $$ con $$ c=\frac{n^2-1}{2}\,+n,\, b\in\mathbb{Z}. $$

Answer 5

la ecuación: $y^2=a^2+b^2+2ac$

Tiene una solución:

$a=p^2-2(q+t)ps+q(q+2t)s^2$

$b=p^2+2(t-q)ps+(q^2-2t^2)s^2$

$c=p^2+2(q-t)ps-q^2s^2$

$y=2p^2-2(q+t)ps+2t^2s^2$

Tiene una solución:

$a=-p^2-2(q+t)ps+(8t^2-2qt-q^2)s^2$

$b=-p^2+2(5t-q)ps+(2t^2-8qt-q^2)s^2$

$c=-p^2+2(5q-t)ps+(8t^2-8qt-7q^2)s^2$

$y=2p^2-2(q+t)ps+(14t^2-8qt-4q^2)s^2$

$p,s,q,t$ - enteros nos pidió.