Cómo explicar a un niño de 14 años que $\sqrt{(-3)^2}$ no es $-3$ ?

Question

Ayer tuve este problema. Intenté explicarle esto al chico: $$\sqrt{(-3)^2} = 3,$$ y enseguida dijo: "Mi profesor nos dijo que podemos cancelar el cuadrado con la raíz cuadrada, así que es $$\sqrt{(-3)^2} = -3."$$

Tiene muchos problemas con las matemáticas, y no sé cómo puedo explicarle esto de la manera más fácil posible. Sigue pensando que le he mentido.

Gracias.

Answer 1

En el caso de un alumno con problemas de matemáticas, primero le haría sentirse cómodo con problemas como $\sqrt{25}=5$ (la raíz cuadrada de un número positivo concreto es positiva).

También para estos problemas iniciales el alumno debe entender que nos referimos a la raíz cuadrada positiva (es decir, no diríamos que $\sqrt{25}$ es $\pm 5$ ni que pueda ser $-5$ si queremos). Este punto causa legítimamente cierta confusión, ya que a menudo decimos "raíz cuadrada de $25$ ' cuando leemos $\sqrt{25}$ y de hecho $-5$ es una raíz cuadrada de $25$ . (Probablemente deberíamos decir "la raíz cuadrada no negativa" o la "raíz cuadrada principal", pero la mayoría de nosotros no lo hacemos).

Finalmente, después de que el alumno se sienta cómodo con estas ideas, podemos abordar el problema en cuestión, haciendo primero el interior: $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$

Answer 2

Creo que el chico ha malinterpretado algo que dijo su profesor sobre la cancelación. Un estudiante de matemáticas de cualquier edad está obligado a malinterpretar a su profesor en algún momento. Cuando estaba en el instituto, hace mucho, mucho tiempo, al señor Jones le gustaba decir que tal o cual ecuación no tiene soluciones reales, ecuaciones como, por ejemplo, $x^2 + 9 = 0$ . Pensé que se refería a que tal ecuación tiene ninguna solución . No fue hasta mucho después de la universidad que aprendí sobre los números imaginarios.

La ecuación $x^4 - 81 = 0$ tiene cuatro soluciones, cualquiera que haya estudiado el teorema fundamental del álgebra puede decirlo. Si queremos limitarnos a las soluciones reales, aún quedan dos soluciones. Pero cuando perforamos $\root 4 \of {81}$ en una calculadora, queremos una sola respuesta, y queremos que esa respuesta sea la misma cada vez, por ejemplo, si dice que la respuesta es $3$ una vez y $-3$ otra vez, pensaríamos que la calculadora tiene algún tipo de fallo.

Y lo mismo ocurre con la raíz cuadrada. Queremos que la calculadora diga $\sqrt 9 = 3$ cada vez, no importa cómo es que conseguimos el $9$ en primer lugar, ya sea por $(-3)^2$ o $3^2$ o cualquier otra operación que pueda dar $9$ como por ejemplo $56 - 47$ .

Answer 3

Por definición, la raíz cuadrada de $x$ (si existe) es el (único) número no negativo $y \geq 0$ tal que $x = y^2$ . La raíz cuadrada sólo existe si $x \geq 0$ y en este caso siempre existe y es único.

Si $y \geq 0$ entonces es cierto que $\sqrt{y^2} = y$ . De manera más general, $$ \sqrt{y^2} = |y|. $$

Para una comprensión más completa, su hijo de secundaria tendrá que estudiar algunos análisis complejos. La función raíz cuadrada es multivaluada, y la función raíz cuadrada positiva habitual es una rama específica de la función. Otra posibilidad es utilizar la raíz cuadrada no positiva en lugar de la raíz cuadrada no negativa. Estas son las dos únicas posibilidades que son continuas.

Answer 4

No es del todo correcto decir que el cuadrado y la raíz cuadrada se anulan mutuamente (de hecho, este ejemplo lo demuestra muy bien)

Para este problema, tenemos $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ . Pero, ¿por qué son estos los dos pasos correctos? Porque evaluamos las funciones de dentro a fuera. Así, el primer paso es elevar al cuadrado la $-3$ . El segundo paso es una cuestión de convención: la raíz cuadrada de un número positivo se toma como la raíz positiva (se podría elegir la raíz negativa, pero eso sería una función diferente...)

Answer 5

Si tiene problemas con las matemáticas, puede que un argumento gráfico le resulte más útil. Dibuje un gráfico de $f(x) = x^2$ y mostrarle que cada elemento positivo en el $y$ tiene dos preimágenes (simétricas). Cuál elegimos para invertir la función es, de hecho, (en su mayor parte) irrelevante, así que es una cuestión de convención: nos gustan las funciones continuas, así que queremos elegir un lado de la $y$ -eje y seguir con él, además de que nos gustan mucho las cosas positivas.

Como otros han señalado, esta opción tiene la ventaja de que $\sqrt{x^2} = \left| x \right|$ . Aun así, cabe destacar que esto es sólo una elección y, aunque es indiferente cuál hagamos, debemos está de acuerdo en uno.