Cómo explicar a un niño de 14 años que $\sqrt{(-3)^2}$ no es $-3$ ?

Question

Ayer tuve este problema. Intenté explicarle esto al chico: $$\sqrt{(-3)^2} = 3,$$ y enseguida dijo: "Mi profesor nos dijo que podemos cancelar el cuadrado con la raíz cuadrada, así que es $$\sqrt{(-3)^2} = -3."$$

Tiene muchos problemas con las matemáticas, y no sé cómo puedo explicarle esto de la manera más fácil posible. Sigue pensando que le he mentido.

Gracias.

Answer 1

Después de haberle dado la definición de la función raíz cuadrada, puede ser útil mostrar lo siguiente: $$ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\neq -3. $$ Aunque la definición puede ser un tema un poco pesado para un niño de 14 años, debería ser muy fácil explicar por qué no se pueden tener definiciones ambiguas en matemáticas.

Answer 2

Se trata de la diferencia entre una función sobre una variable y una ecuación con una variable. Una función sólo debe tener un resultado para cada argumento, mientras que una ecuación puede tener más de una solución, o ninguna.

Consideremos una función muy sencilla, $f(x) = x + 1$ . Por ejemplo, $f(3) = 4$ , $f(4) = 5$ . Si $x$ no cambia, tampoco debería $f(x)$ . Puedes ejecutar la función cien veces con el mismo valor y debería dar el mismo resultado. Resuelve la ecuación $f(x) = 8$ . Las palabras "trivialmente simple" vienen a la mente. Esta función tiene una correspondencia uno a uno entre entradas y salidas: cada número $x$ se corresponde con un único $f(x)$ .

Consideremos ahora una función un poco más complicada, $f(x) = |x| + 1$ . Por ejemplo, $f(-3) = 4$ . Al igual que con la primera función, si $x$ no cambia, tampoco debería $f(x)$ . Pero ahora una ecuación que incluya esta función puede tener dos soluciones. Si $f(x) = 8$ alors $x$ puede ser $7$ pero también puede ser $-7$ .

Para la primera función, podemos definir una función de búsqueda por medios aritméticos: $g(y) = y - 1$ . Pero para la segunda función, si exigimos una función de búsqueda que utilice medios aritméticos en lugar de memoria, nos vamos a frustrar. La definición $g(y) = y - 1$ proporciona el resultado correcto si $x$ fue positivo, o $0$ . La cuestión es si esta función $g(y)$ es suficiente para nuestros propósitos.

Eso es lo que es la función raíz cuadrada principal: una función que nos dice qué valor se introdujo en otra función si ese valor era positivo, o $0$ . La función cuadrada se define como $x^2 = x \times x$ . Si $y = x^2$ la función $\sqrt{y}$ nos dice lo que $x$ fue si sabemos que $x$ fue positivo, o $0$ .

Cálculo de $\sqrt{y}$ no es lo mismo que resolver la ecuación $x^2 - y = 0$ . Al menos para esta ecuación sólo hay dos soluciones posibles: $\sqrt{y}$ y $-\sqrt{y}$ . Por lo tanto, $\sqrt{(-3)^2} = 3$ pero la ecuación $x^2 - 9 = 0$ tiene dos soluciones, $x = 3$ y $x = -3$ . Esperamos que si $y$ no cambia, ni tampoco $\sqrt{y}$ Si la función se ejecuta a mediodía, a medianoche o a cualquier hora del día.

Cancelación de la plaza en $\sqrt{(-3)^2}$ para obtener $-3$ en lugar de $3$ crea una función de memoria en lugar de una función aritmética. Una función de memoria puede ser una función aritmética sólo si la función que se deshace tiene una correspondencia uno a uno entre las entradas y las salidas.

Answer 3

Dale la definición de la función raíz cuadrada : para $x\in\mathbf{R}_{+}$ el número $\sqrt{x}$ es por definición el número único $y\in\mathbf{R}_{+}$ tal que $y^2 = x$ .

Answer 4

Creo que el chico ha malinterpretado algo que dijo su profesor sobre la cancelación. Un estudiante de matemáticas de cualquier edad está obligado a malinterpretar a su profesor en algún momento. Cuando estaba en el instituto, hace mucho, mucho tiempo, al señor Jones le gustaba decir que tal o cual ecuación no tiene soluciones reales, ecuaciones como, por ejemplo, $x^2 + 9 = 0$ . Pensé que se refería a que tal ecuación tiene ninguna solución . No fue hasta mucho después de la universidad que aprendí sobre los números imaginarios.

La ecuación $x^4 - 81 = 0$ tiene cuatro soluciones, cualquiera que haya estudiado el teorema fundamental del álgebra puede decirlo. Si queremos limitarnos a las soluciones reales, aún quedan dos soluciones. Pero cuando perforamos $\root 4 \of {81}$ en una calculadora, queremos una sola respuesta, y queremos que esa respuesta sea la misma cada vez, por ejemplo, si dice que la respuesta es $3$ una vez y $-3$ otra vez, pensaríamos que la calculadora tiene algún tipo de fallo.

Y lo mismo ocurre con la raíz cuadrada. Queremos que la calculadora diga $\sqrt 9 = 3$ cada vez, no importa cómo es que conseguimos el $9$ en primer lugar, ya sea por $(-3)^2$ o $3^2$ o cualquier otra operación que pueda dar $9$ como por ejemplo $56 - 47$ .

Answer 5

Puede que él (y su profesor, si es que éste lo dijo) tenga razón. Después de todo, ¿qué significa la expresión "la raíz cuadrada negativa"? Mucha gente la utiliza, y tiene sentido, y la raíz cuadrada negativa de $(-3)^2$ es de hecho $-3$ .

Así que creo que una explicación adecuada debería tener en cuenta que los términos "raíz cuadrada negativa" y "raíz cuadrada" no significan lo mismo, y que es que es una cuestión de convención en matemáticas que "raíz cuadrada" se reserva para significar "raíz cuadrada positiva" a menos que se especifique o se implique lo contrario en el contexto. Entonces podría ser más fácil comprender (incluso para un niño de 7 años, no sé por qué la edad importa aquí) que $-3$ no puede ser el "raíz cuadrada positiva" de nada.

Entonces también se podría explicar que cada entero positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, pero como oficialmente sólo llamamos "raíz cuadrada" a la positiva, cuando empezamos con $-3$ terminamos con positivo $3$ Es decir $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=$ el positivo de los dos números $-3$ y $3$ Es decir $3$ .

Aunque explique lo anterior, puede que le resulte más difícil explicar por qué se adopta la convención anterior. (Y si se trabaja con raíces cúbicas y mayores y con números complejos esa explicación puede ser aún más difícil). Pero el punto principal es explicar la convención y la terminología, ya que $-3$ es Después de todo, una raíz cuadrada de $9$ , la negativa.

Se supone que debe confiar en su profesor. Por lo tanto, también es importante explicarle que su profesor tiene razón, pero que su profesor debe haber querido decir que la cancelación sólo es válida cuando empezamos con un número positivo, por ejemplo $\sqrt{3^2}=3$ y $\sqrt{4^2}=4$ . A continuación, explique que su profesor no quiso decir que la regla se aplica cuando empezamos con un número negativo, y en ese caso terminamos con el número positivo opuesto, por ejemplo $\sqrt{(-3)^2}=3$ y $\sqrt{(-4)^2}=4$ . Puede parecer una revelación sorprendente, así que no se desilusione si tarda unos días en ser apreciada y aceptada, después de todo es simplemente una convención, y puede necesitar alguna deliberación de por qué está bien aceptarla (y la razón es porque todo el mundo lo hizo, y ya que nos gustaría asignar un significado único al término no calificado "la raíz cuadrada").

Me pregunto cuál sería el efecto de la conferencia anterior en un niño de 14 años... Puede que no haya entendido el sentido de su pregunta. Pero, parafraseando a Euclides, "no hay 14 años camino a las raíces cuadradas".