prueba de invarianza de norma para quantum 1D anillo

Question

Esta es una pregunta sobre el medidor de la invariancia en la mecánica cuántica. Hago un poco de matemática simple en una 1D función de onda periódicas de las condiciones de contorno, y conseguir que la invariancia gauge es violado. ¿Qué estoy haciendo mal?

Considere la posibilidad de una coordenada de la dimensión configurado como un anillo. El indicador dependiente de impulso operador puede ser escrita:

$p_{op}=-i \frac{\partial}{\partial x} - k$

Las unidades se han elegido de manera que $\hbar = 1$, $k$ es una constante real arbitraria diferente para cada indicador y $x$ representa la coordenada.

El indicador dependiente de la eigenfunction puede ser escrito

$\psi(x)= Ae^{i(n+k)x}$

donde a es Una constante determinada por la normalización. Como es bien sabido, en la mecánica cuántica, un operador aplicado a una de sus funciones propias debe producir una constante real autovalor multiplicando el mismo eigenfunction: Así

$[-i \frac{\partial}{\partial x} - k] Ae^{i(n+k)x}= nAe^{i(n+k)x}$

de modo que el número real n es el autovalor, que debe ser determinado por las condiciones de frontera.

La condición de contorno para este sistema periódico, debe ser que la función de onda debe unirse a sí mismo sin problemas en todas partes. Por lo tanto, si la coordenada es elegido tal que x se extiende desde –$\pi$ alrededor del anillo a$\pi$, entonces la eigenfunction en la ecuación 3 debe tener (n + k) = m, donde m es un número entero.

Bajo estas condiciones, el autovalor de n en la ecuación 3 será n = m – k. Este autovalor depende explícitamente de la k, y por lo tanto no es invariante gauge.

Estoy asumiendo que esta simple situación debe ser invariante gauge, pero no veo donde he metido la pata. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

2ª Actualización

Si usted sólo quiere pensar en una 1D universo con periódicos de las condiciones de contorno, no es simplemente el punto de que no hay ningún indicador de transformación que lleva de un valor de $A$ constante a otro. Recuerdo un indicador de la transformación se lleva a $A_\mu\rightarrow A_\mu +\partial_\mu f$ donde $f$ es arbitraria suave de la función. Para ir de $A = A_1$ $A=A_2$desea medir transformar con $f(x) = (A_1-A_2)x$. Pero dado que el sistema es periódica en $x$ esto no es una función suave. Estaría bien si $\exp(i f(x)$ fue un único valor de la función, pero eso sólo ocurre cuando $A_1 -A_2$ es un número entero. Es un hecho interesante acerca de algunos topológicamente trivial spacetimes que hay medidor de campos que dan la misma campos electromagnéticos, pero no son equivalentes por calibre de transformación. Y la Mecánica Cuántica en realidad se preocupa por el medidor de campos. Así que no se rompa la invariancia gauge para diferentes $A$ dar físicas diferentes respuestas, ya que no están conectados por un indicador de la transformación.

La actualización a continuación se ocupa principalmente de pensar acerca de la 1D de quantum anillo como incrustado en el espacio real. Todavía vale la pena leer

Actualización

Arthur, aplaudo el hecho de que todavía estamos tratando de entender esto. Así que estoy tratando de volver a explicar lo que escribí aquí. QMechanic y Marek tiene dos buenas explicaciones, pero no golpeó exactamente el origen de lo que parece ser su confusión. Permítanme volver a intentar explicar.

-Su pregunta es: tengo este sistema simple con un medidor de campo, y mi respuesta parece ser que dependen de la elección de mi calibre. ¿Cómo puede ser esto? No pensé en nada físico puede depender de la elección de la galga.

• Vamos un paso atrás y recordar de donde nos conocimos invariancia gauge. Teníamos $E$$B$, de los campos electromagnéticos, y estos son observables de las cantidades físicas. Pero estos son un dolor de cabeza para trabajar con por lo que introducir el medidor de campos de $A$. Pero estos son muy redundantes puedo medidor de transformar mis campos de $A$ a algo totalmente diferente y todavía tienen el mismo $E$$B$. Desde $E$ $B$ son de lo que nos interesa, en primer lugar, exigimos que nuestras teorías sean "invariante gauge" - nada físico puede cambiar cuando hago un medidor de transformación.

• Invarianza de norma es creada por el hecho de que diferentes medidor de campos de llevar a la física equivalente situaciones. Hay un montón de cosas que se ven como medidor de campos -, sino sólo en aquellas situaciones donde el calibre de transformación de conectar físicamente equivalente situaciones debe medir la invariancia de ser respetados.

• En las situaciones en las que menciona a sí mismo, la rigidez de los rotadores, hay algo que se parece mucho a un medidor de campo. Tenemos un hamiltoniano $H = \frac{1}{2m}(p - m\omega R)^2$ donde $\omega$ es la velocidad angular. Esto sólo se ve como un medidor de campo $A= m\omega R$. Pero diferentes valores de $A$ $\omega$ do no corresponden a la misma situación física. El rotor gira a una velocidad diferente. Este es visiblemente diferente. Porque la diferencia de $A$ son físicamente no equivalentes, no hay ninguna razón para esperar que la respuesta sea independiente del valor de la $A$. Y eso es lo que se encuentra. Correctamente.

• En el caso de que $A$, en realidad es la electromagnética vector potencial de la situación es un poco más sutil, ya que eso supone para invariante gauge. Pero os muestro a continuación en el post original que, aquí también, diferentes opciones de $A$ corresponden a diferentes situaciones físicas.

Línea de base: Sólo porque algo se parece a un medidor de campo no significa que debemos tener la invariancia gauge. La invariancia Gauge es sólo una necesidad cuando medidor de transformaciones conectar físicamente equivalente situaciones. En los sistemas que dan cuenta de una 1D cuántica anillo de diferentes opciones de $A$ no son físicamente equivalentes.

Post Original

Su cálculo original es correcta. Los niveles de energía dependen de la magnitud del indicador de vectores $A$.

¿Cómo es que esto no romper la invariancia gauge? Calcular el $\oint A(r)\cdot dr$, que es la integral de su medidor de campo alrededor del bucle. Esto es $\int dS\cdot \nabla \times A$ por el teorema de Stokes. Esto es $\int dA \cdot B$ por la definición del medidor de campo. Así que su equivalente para el flujo magnético a $\Phi$ enhebrado a través de su anillo.

Así, si tomamos $A$ a ser constante como lo hizo, entonces tenemos $A = \frac{\Phi}{2\pi R}$ donde $R$ es el radio de su anillo. Pero $\Phi$ es una cantidad física que no se puede cambiar bajo calibre transformaciones. No hay ningún indicador de la transformación que mantiene a $A$ constante y cambia su magnitud. Así que está bien que los diferentes $A$ dar diferentes niveles de energía - que corresponden a las diferentes situaciones físicas.

Esta es la base de muchos fenómenos físicos: la Aharanov-Bohm efecto, el flujo de cuantización, Poco Parques efecto, la debilidad de la localización, etc.. todo en la wikipedia.

Por el camino, lo más raro aquí no es tanto que de su respuesta depende del calibre, ya que los diferentes calibres no son equivalentes. Lo más raro es que si puedo tomar un anillo de un año luz en la radio y poner un campo magnético a través de un metro cuadrado de parche en el centro del ring, todas las partículas que conocemos acerca de este campo magnético, incluso a pesar de que es un año luz de distancia. Pero si hago un metro de largo pedazo de mi anillo de repente se olvida todo acerca de ese campo magnético. (Sólo en el límite donde todo es increíblemente limpio, pero aún así, sus extravagantes).

Answer 2

1) supongamos por simplicidad poner varias constantes: la Velocidad de la luz $c=1$; constante de Planck $\hbar=1$; Masa $m=1$ de los no-relativista escalar (Bosonic) de la partícula en $1+1$ dimensiones; una carga de partícula $q=1$; Circunferencia espacial círculo de $\ell=2\pi$.

2) El impulso mecánico (a veces llamado el kinetic momentum)

$$\hat{v}~=~\hat{p}-A_x~=~\frac{1}{i}\partial_x-A_x~=~\frac{1}{i}D_x$$

(o, equivalentemente, la derivada covariante) conmuta con el Hamiltoniano $\hat{H}=\frac{1}{2}\hat{v}^2+\Phi$ en el temporal medidor de $\Phi=A^t=0$, que supondremos a partir de ahora. (Recordemos que $\Phi=A^t$ es el componente temporal del indicador potencial.) Por lo que podemos encontrar en común autoestados. La supresión de la dependencia del tiempo en lo que sigue, queremos resolver la mecánica impulso ecuación

$$\hat{v}\psi_v(x)=v \psi_v(x),$$

donde la mecánica impulso autovalor $v\in\mathbb{R}$ está relacionado con la energía $E=\frac{1}{2}v^2$. La solución es $e^{ivx}$ veces Wilson línea:

$$\psi_v(x)~=~ \psi_v(0)\exp\left[ivx+i\int_0^x A_x(x')dx'\right] ,\qquad v\in\mathbb{R}.$$

3) en Virtud de un local de calibre transformación

$$\psi(x)\longrightarrow \tilde{\psi}(x):=e^{i\alpha(x)}\psi(x), \qquad A_x(x)\longrightarrow \tilde{A}_x(x):=A_x(x)+\partial_x\alpha(x), $$

es bien sabido que la derivada covariante (mecánica o impulso) se transforma covariantly,

$$D_x\psi(x)\longrightarrow e^{i\alpha(x)}D_x\psi(x), \qquad D_x \longrightarrow \tilde{D}_x ~=~ e^{i\alpha(x)}D_x e^{-i\alpha(x)}, \qquad \hat{v}\longrightarrow e^{i\alpha(x)}\hat{v} e^{-i\alpha(x)}.$$

Es cierto que no son invariante gauge. Son sólo medidor covariante. Sin embargo, podemos construir fácilmente manifiestamente invariante gauge cantidades, por ejemplo, $|\psi(x)|^2$; $\psi^*(x) \hat{v}\psi(x)$. En particular, la mecánica impulso autovalor

$$v~=~\frac{\hat{v}\psi_v(x)}{\psi_v(x)}~=~\pm\sqrt{2E}~\in~\mathbb{R}$$

es un invariante gauge (aún suponiendo temporal medidor de $A^t=0$).

4) por último, suponemos por simplicidad que $A_x(x)=A_x\in\mathbb{R}$ $\tilde{A}_x(x)=\tilde{A}_x\in\mathbb{R}$ son independientes de $x$. Esto corresponde a un indicador parcial de la fijación. Todavía tenemos residual indicador de las transformaciones de la izquierda donde $\alpha(x)$ es una función afín de $x$. El eigenfunction se convierte en

$$\psi_v(x)~=~ \psi_v(0)e^{i(v+A_x)x},\qquad \tilde{\psi}_v(x)~=~ \tilde{\psi}_v(0)e^{i(v+\tilde{A}_x)x},\qquad v\in\mathbb{R}. $$

Recordamos ahora que el $x$-coordinar está periódico $x\sim x +2\pi$. La función de onda debe ser de un solo valor

$$\psi_v(x+2\pi)=\psi_v(x),\qquad\tilde{\psi}_v(x+2\pi)=\tilde{\psi}_v(x),$$

así

$$v+A_x,v+\tilde{A}_x~\in~\mathbb{Z},$$

como OP observa. En otras palabras, $A_x$ $\tilde{A}_x$ pertenecen a la misma cambiado de celosía $\mathbb{Z}-v$. El residual de la función afín $\alpha(x)$ han $x$-independiente de valor entero derivados

$$\partial_x\alpha~=~\tilde{A}_x-A_x~=~(v+\tilde{A}_x)-(v+A_x)~\in~\mathbb{Z}.$$

5) ¿qué hemos aprendido?

1. Por un lado, se puede escribir $v\in\mathbb{Z}-A_x$, así que podemos ver que la energía $E=\frac{1}{2}v^2$ y el impulso mecánico $v$ dependen del calibre potencial de $A_x\in\mathbb{R}$.

2. Por otro lado, como vimos en la sección 3$E$ $v$ son gauge invariantes, es decir, que son invariantes bajo transformaciones gauge (aún suponiendo temporal medidor de $A^t=0$).

Las dos instrucciones (1.) y (2.) no chocan en términos de la física, sólo en términos de la semántica. En particular, si realizamos un indicador de la transformación en la fórmula $v\in\mathbb{Z}-A_x$, no podemos afirmar que $v$ cambios desde un medidor de transformación de los cambios de $A_x$ por un número entero. ($A_x$ sí no es necesariamente un entero).

6) Otro ejemplo es la canónica impulso operador $\hat{p}=\frac{1}{i}\partial_x$.

1. Por un lado, es independiente del indicador potencial de $A_x$.

2. Por otro lado, es no un medidor covariante de la cantidad, es decir, no transforma covariantly bajo un medidor de transformación

$$\hat{p}\longrightarrow e^{i\alpha(x)}\hat{p} e^{-i\alpha(x)}~=~\hat{p}-\partial_x\alpha(x).$$

De nuevo, las dos expresiones (1.) y (2.) no chocan en términos de la física, sólo en términos de la semántica.

7) por último, vamos a conectar a Marek comentario. Tenemos un espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ de las funciones de onda en un círculo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, y una Heisenberg álgebra $[\hat{x},\hat{v}]=i$. (Más precisamente, la Piedra-teorema de von Neumann es una declaración acerca de su correspondiente grupo de Heisenberg para evitar problemas con el ilimitado a los operadores.) Yo interpreto a Marek comentario como aproximadamente diciendo que

$$\hat{x}=x, \qquad \hat{v}=\frac{1}{i}\partial_x-A_x,$$

los rendimientos no equivalentes irreductible de las representaciones de los Heisenberg álgebra marcado por un continuo etiqueta $A_x\in[0,1[$. El cambio de $A_x \to A_x+1$ los rendimientos de una representación equivalente debido a la simetría gauge.

Answer 3

Es posible hacer de la mecánica cuántica en otros dominios de $\mathbb R^3$, pero tienes que hacer un par de ajustes, que se le olvidó hacer. Es decir, el indicador de la transformación

$$ \psi(x) \mapsto e^{i\chi(x)} \psi(x) $$

debe cumplir con $e^{i\chi(0)}=e^{i\chi(2\pi)}$ a tener un solo valor en el círculo, es decir,

$$\chi(2\pi)-\chi(0)=2\pi m \quad\text{ with } m\in\mathbb Z$$

En otras palabras, su elección $\chi(x)=kx$ sólo está permitido para los valores particulares de $k$, es decir,$k\in\mathbb Z$.

Por otra parte, el autovalor no depende del calibre, a pesar de su reclamo, de lo contrario. Eso es porque un indicador de la transformación de cambio de la velocidad del operador

$$ v \mapsto v - \partial_x \chi(x) $$

y sus autovalores la misma estancia. No físicamente cantidad mensurable va a cambiar después de un medidor de transformación, nunca.

Answer 4

Creo que estamos viendo un problema donde no existe. De hecho, hemos $n + k \in \mathbb{Z},$ así que si cambias $k$, dicen $$k \mapsto k + \delta,$$ you need to adjust $$n \mapsto n - \delta.$$ I wouldn't say that $n$ explicitly depends on $k$, but shifting $k$ by an arbitrary real (= non-integer) constant does force an adjustment for $$ n - no es muy sorprendente.

Sin embargo, creo que se puede configurar el problema de una manera más natural. Olvidar el calibre parte, considera a la función de onda $\phi(x) = e^{i n x}$; para satisfacer la p.b.c., usted encontrará que $n \in \mathbb{Z}.$ Ahora agregar un medidor parte, $U_k(x) = e^{ikx};$ entonces encuentra que el derivado de los cambios a $\partial_x \mapsto D_x = \partial_x - ik$ (modulo una señal de error) etc. El total de la función de onda cambia de a $\phi(x) \mapsto U_k(x) \phi(x) = \Psi(x)$; de nuevo, se encuentra que las $k \in \mathbb{Z}$ etc.

En esta nueva configuración, usted encontrará que usted puede cambiar $k$ por un entero sin castigo, y yo creo que esto también significó en su problema; una vez que se limita a los números enteros, que han entero de la libertad en la elección de tu calibre.

Answer 5

Me gustaría intentar una respuesta a mi propia pregunta.

La sencilla interpretación de las 3 ecuaciones en el post original es que lo hacen presente una legítima conflicto. Este conflicto desaparece cuando el dominio espacial se extiende hasta el infinito, y el papel de las condiciones de frontera desaparece. Así, el conflicto, la violación de la invariancia gauge para el anillo finito, sugiere que el anillo es simplemente no cubiertos por la mecánica cuántica, o hay algo acerca de los límites de las condiciones impuestas por la geometría de anillo que no funciona.

Por tanto existen otras condiciones de frontera, que podría ser juzgados? Los más obvios son la demanda periodicidad no de la función de onda, pero de la densidad de probabilidad de probabilidad y densidad de corriente. Estos son reales (no complejo) las cantidades, dejaría la fase de la función de onda tiene una discontinuidad en el límite, siempre y cuando el gradiente de la fase fue suave.

La elección de los límites que permita la continua autovalor espectro de la línea infinita, para aplicar así el anillo, que sería restaurar la invariancia gauge. Pero esto viene a expensas de los no lineales no homogéneas y condiciones de contorno.

Las condiciones de contorno no lineales podría ser aceptado si son consistentes con el tipo estándar de espacio de Hilbert de Hermitean operadores, y el principio de superposición.

En un artículo recientemente publicado en arxiv.org voy en algunos detalles acerca de cómo la no lineal límites son, de hecho, coherente con la invarianza de norma y el estándar de estructura de espacio de Hilbert. La conclusión es que la no linealidad crea un espectro continuo de valores propios, de las cuales no todas son superponible en el espacio de Hilbert. La no linealidad en el límite permite un subconjunto a ser superponible. La combinación de un autovalores y superponible discreto autovalores hace una estructura de banda para el espacio de Hilbert, en lugar de un simple discreto de los niveles.

Por FAVOR haga CLIC AQUÍ para mayor explicación.

Entonces, creo que la correcta solución de este problema es muy importante para los sistemas cuánticos junto a sus entornos, tales como uniones Josephson utilizado como qubits.