Área de un triángulo $\propto\pi-\alpha-\beta-\gamma$

Question

Una geometría hiperbólica es una geometría no Euclidiana con curvatura negativa constante. Tiene la propiedad de que, dada una recta y un punto, muchos se pueden trazar líneas que contiene el punto de que nunca se encuentran la línea dada. La foto de abajo (Círculo Límite por M. C. Escher) es un mapa de conformación de la geometría hiperbólica a plano Euclídeo.

¿Cómo se puede demostrar que en un espacio de geometría hiperbólica, área de un triángulo con los ángulos $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$$\Delta\propto\pi-\alpha-\beta-\gamma$?

Un resultado similar existe para la esfera: $\Delta=R^2(\alpha+\beta+\gamma-\pi)$. Yo podría probar esto, pero sospecho que mi prueba no puede ser modificado por geometría hiperbólica. Mi prueba de la esfera es bastante trivial, se hace uso de la simetría y un diagrama de Venn.

Answer 1

También hay un diferencial de-prueba geométrica.

Para una superficie con constante de la curvatura Gaussiana $K$ de Gauss-Bonnet fórmula rendimientos $\text{area}\cdot K+\text{sum of exterior angles}=2\pi$ aka $\text{area}=\text{defect}/K$. (Esto se da no sólo el de proporcionalidad, sino también el coeficiente.)

Answer 2

Esto es realmente un comentario que complementa las respuestas anteriores:

Para las esferas de la "fórmula" para el área de un triángulo esférico es conocido como Girard del Teorema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Girard%27s_theorem#Girard.27s_theorem

Answer 3

Dirijo a usted, en el capítulo 1 de Fuchsian Grupos por Svetlana Katok. Se tiene la siguiente prueba del teorema (al menos donde yo lo aprendí) con ilustraciones:

Vamos a definir hiperbólico zona a: $$ \mu(A)=\int_{A}\frac{dxdy}{y^2}. $$

Puede comprobarse que para todos los $T \in$ $\text{PSL}(2,\mathbb{R})$ que $\mu(A)=\mu(T(A)).$ (Este hecho nos serán útiles más adelante).

Entonces, consideremos un triángulo en este plano hiperbólico $H$. Vamos a utilizar la mitad superior modelo de avión.

Caso 1: Un vértice del triángulo pertenece a $\mathbb{R}\cup {\infty}.$

A continuación, el ángulo en el que el vértice es 0. Podemos utilizar transformaciones (recall $T$ desde arriba?) de $\text{PSL}(2,\mathbb{R})$ a cambio de dos lados de $A$ en vertical geodesics; de ahí que la base del triángulo es un Euclidiana semicírculo ortogonal a $\mathbb{R}.$

Entonces podemos ver que $$\mu(A)=\int_{A}\frac{dxdy}{y^2}=\int_{a}^{b}dx\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\frac{dy}{y^2}=\int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$ When we substitute $x=cos(\theta),$ this integral becomes: $$\mu(A)=\int_{\pi - \alpha}^{\beta}\frac{-\sin(\theta)d\theta}{\sin\theta}=\pi-\alpha-\beta.$$

Caso 2: $A$ no tiene vértices en $\mathbb{R}\cup{\infty}.$ Deje que el triángulo tiene vértices $A, B,$$C.$, a Continuación, deje que la geodésica conectar $A$ $B$ intersecan el eje real en $D$. A continuación, $\mu(A)=\mu(ACD)-\mu(BCD)$ y ambos son triángulos como en el caso anterior. (Usted puede trabajar el resto de los detalles en consecuencia - dibujar una imagen)

Answer 4

1. Observar que el defecto de un (hiperbólica o esférica) polígono (es decir, la diferencia entre la suma de sus ángulos y la suma de los ángulos de un Euclidiana polígono con el mismo número de vértices) es un aditivo de la congruencia-invariante de la función.
2. Hasta proporcionalidad, sólo existe un aditivo de la congruencia-invariante de la función (para el plano Euclidiano es a veces llamado Bolyai–Gerwien teorema; se puede decir que sólo significa que el área está bien definido).

De ahí el resultado.