La cardinalidad de la colección de compactos de espacios métricos

Question

Me preguntaba hoy en día, que si $\mathscr{M}$ es la colección de todos los conjuntos que admite una métrica de la generación de una topología compacto, entonces

1. Es $\mathscr{M}$ un conjunto de ZFC?
2. Si es así, ¿cuál es la cardinalidad de a $\mathscr{M}$?

La razón por la que me encontré $1.$ es interesante porque, en general, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto de ZFC, y cada conjunto admite una métrica del espacio de la estructura a través de discretos métrica y la topología discreta. Sin embargo, sólo aquellos conjuntos que son finitos son compactas, con esta métrica. Así podría compacidad supuesto de restringir esta colección para convertirse en un conjunto?

Y acerca de la $2.$, pensé que al menos en virtud de la relación de equivalencia de homeomorphism el cociente espacio debe ser un conjunto de cardinalidad menor o igual a $2^{\mathfrak{c}}$, ya que cada espacio métrico compacto, admite una incrustación de a $[0,1]^{\mathbb{N}}$, que es del tamaño de $\mathfrak{c}$. Así, para cada clase de equivalencia podríamos escoger un representante del poder establecido de $[0,1]^{\mathbb{N}}$. Pero ¿y si tenemos en cuenta la relación del ser isométrica en lugar de homeomórficos? Y por último, si dejamos caer el cociente espacios totalmente?

Mi motivación para estas preguntas surgieron cuando estaba leyendo sobre la Gromov-Hausdorff distancia compacto para espacios métricos. Tal vez hay un trivial respuesta que $\mathscr{M}$ no es un conjunto.

Answer 1

En general las colecciones de "posible" son clases, simplemente porque hay una clase adecuada de los conjuntos de cardinalidad $1$, todos los cuales son compactos métrica espacios.

Pero, de hecho, cada espacio métrico compacto puede ser embebido en $[0,1]^\Bbb N$, por lo tanto sólo tenemos que averiguar cuántos conjuntos cerrados este espacio, y dado que se trata de un segundo contables espacio métrico tiene exactamente $\frak c$ muchos subconjuntos cerrados, por lo que hay en la mayoría de las $\frak c$ compacto métrica espacios hasta homeomorphism.

Answer 2

Para cualquier $x$, $\{x\}$ con la métrica $d(x,x)=0$ es un espacio métrico compacto, entonces, es claro que $\mathscr{M}$ no puede ser un conjunto. Sin embargo, es cierto que $|X|\le 2^\omega$ por cada $X\in\mathscr{M}$, así que hay un conjunto $\mathscr{M}_0$ compacto métrica espacios de tal manera que cada espacio métrico compacto es homeomórficos (de hecho isométrica) a uno en $\mathscr{M}_0$.

Agregado: Para cada cardenal $\kappa\le 2^\omega$ vamos $$\mathscr{M}_\kappa=\big\{\langle\kappa,d\rangle:d\text{ is a metric on }\kappa\big\}\subseteq{}^{\kappa\times\kappa}\Bbb R\;;$$ this is clearly a set, as is $\mathscr{M}=\bigcup\{\mathscr{M}_\kappa:\kappa\le 2^\omega\text{ es un cardenal}\}$, and every compact metric space is isometric to some space in $\mathscr{M}$. (For $\kappa>1$ $\mathscr{M}_\kappa$ contains $2^\kappa$ isometric copies of each space, corresponding to permutations of $\kappa$, por lo que es posible que desee elegir a los representantes de la isometría clases).

Para responder a su última pregunta en los comentarios, un espacio métrico compacto $X$ es separable, y cada compatibles métrica es continua en a $X\times X$, por lo que tiene en la mayoría de las $2^\omega$ compatible métricas. Por otro lado, se $d$ es compatible métrica, entonces también lo es $\alpha d$ por cada $\alpha>0$, lo $X$ $2^\omega$ compatible métricas (a menos $X$ es el punto en el espacio!).