Las categorías más grandes que las clases?

Question

En la definición de una categoría en la Wikipedia, está escrito que una categoría "consiste en" una clase de objetos y una clase de morfismos, así como operaciones binarias para las composiciones de morfismos.

Lo que me preocupa de esta definición es que el buen clases (tales como la clase de todos los conjuntos o la clase de todos los grupos) son, por definición, no pueden ser elementos de otras clases (o conjuntos). Desde la categoría de conjuntos "consiste en" la clase adecuada de todos los conjuntos, entonces si tomamos "consiste en" que significa "contiene un elemento", se deduce que esta categoría debe ser un nuevo tipo de colección que es más grande que las dos clases y conjuntos.

La única manera que creo que la categoría de conjuntos podría ser en sí mismo una clase sería, si tomamos "consiste en" que significa "contiene como una subclase." Sin embargo, yo no veo nada en la página que aclara esto.

Las siguientes preguntas están relacionadas, aunque no creo que la dirección específica de mi problema acerca de si las categorías son más grandes que las clases:

• En la definición de una categoría , ¿cuál es el significado de 'consiste'
• definición de categoría: clase vs set?
• Definición de la Categoría

Answer 1

La posterior es feo, pero es una manera de evitar, si quieres, algunos problemas con la correcta clases en la definición. Podemos definir la categoría de clase, $\mathcal{C}$ tal de que no existe la clase $\mathcal{A}$ de las "flechas", para que $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\times\mathcal{A}\times\mathcal{A}$, e $(\beta,\alpha,\gamma)\in\mathcal{C}$ tiene un sentido que las flechas $\beta,\alpha$ puede ser compuesto, y $\beta\alpha=\gamma$. Los correspondientes axiomas son evidentes. A continuación, $Ob(\mathcal{C})$ y hom-conjuntos puede ser apropiado clases. Sin embargo, la teoría de conjuntos es estrecho para la categoría de teoría.