¿Qué significa que un conjunto exista?

Question

¿Existe un significado preciso de la palabra 'existir', qué significa para un conjunto existir?
¿Y qué significa para un conjunto 'no existir'?

¿Y qué es un conjunto, cuál es la definición precisa de un conjunto?

Answer 1

No hay una definición de lo que es un conjunto. La razón es simple: es difícil imaginar algo más fundamental que un conjunto que se pueda utilizar para decir qué es un conjunto. Y si hubiera algo así, llamémoslo tet, entonces uno se preguntaría "pero ¿qué es exactamente un tet? ¿podemos definirlo en términos de algo más fundamental, tal vez en términos de un uet o un vet o un wet o xet o un zet?". Esto nunca termina.

Entonces, lo que hacemos es tomar uno de dos enfoques. El enfoque ingenuo recurre a tratar de eliminar la vaguedad diciendo cosas como "un conjunto es una colección de cosas donde el orden no es importante, y la repetición no es posible". Si bien no es incorrecto, ¿qué demonios es una colección entonces? Bueno, en el enfoque ingenuo no nos importa y simplemente asumimos que todos compartimos la misma intuición sobre lo que son los conjuntos. Esto funciona hasta cierto punto.

El otro enfoque es el axiomático. En lugar de decir qué son los conjuntos, decimos qué podemos hacer con ellos y qué leyes los rigen. Hay muchas axiomatizaciones diferentes de la teoría de conjuntos, ninguna de las cuales es particularmente simple (por ejemplo, requiere un poco de esfuerzo para entender). Resultados fundamentales en la teoría axiomática de conjuntos incluyen resultados como "es imposible demostrar la consistencia de la teoría de conjuntos", diciendo esencialmente que no puedes estar seguro de que un universo de conjuntos como pretendemos que exista realmente exista. Otros resultados muestran que ciertos axiomas fundamentales son independientes de otros, mostrando que lo que uno pueda considerar 'obvio' sobre su idea de conjuntos no necesariamente es tan obvio para otros.

Answer 2

Los conjuntos son objetos en el universo de la teoría de conjuntos [pura].

Informalmente, los conjuntos son una formalización de la idea de una colección de objetos matemáticos.

En cuanto a la existencia, la existencia [de un conjunto] en el sentido matemático puro significa que en un universo matemático hay un conjunto con propiedades particulares. Entonces la verdadera pregunta es ¿qué es un universo matemático? Es una colección de objetos matemáticos que obedecen leyes particulares que llamamos axiomas.

¿Entonces existe un universo matemático? Esta es una pregunta fronteriza teológica. Requiere creencia y convicción personal. Pero se puede hacer matemáticas en cualquier caso. Es posible pensar en las matemáticas como una manipulación formal de cadenas; o hacer creer que estos objetos existen, por el bien del argumento; o creer que hay un universo idealizado en el que residen los objetos matemáticos; o incluso creer que nuestro universo es matemático.

Cada enfoque tiene sus méritos y sus desventajas, y no deseo discutirlos. Uno debe seguir su corazón y mente, y decidir por sí mismo.

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Permítanme agregar un poco sobre la dificultad que las personas tienen con este concepto cuando se encuentran con él.

¿Qué es un número real? Bueno, es el límite de los números racionales. ¿Qué son los números racionales? Fracciones, razones entre enteros. ¿Qué son los enteros? Los enteros son todas las cosas que se pueden obtener sumando o restando $1$ de sí mismo indefinidamente.

¿Qué es $1$? Bueno, tengo una cabeza. Eso es uno.

Eso fue relativamente fácil, porque tenemos una comprensión sólida sobre qué es "una cosa", y qué es "la adición de dos cosas", así que podemos entender los números naturales naturalmente, y luego podemos construir otros sistemas. Además, en tiempos modernos todos oímos hablar de física sobre cómo el tiempo es un continuo, y está grabado en el conocimiento común de la humanidad. Es por eso que muchos, si no todos, piensan en la línea de tiempo cuando piensan en los números reales.

De hecho, una vez me senté con un par de personas que eran estudiantes de ingeniería, y les dijeron que un cubo de cuatro dimensiones se piensa mejor como un cubo regular moviéndose a través del tiempo (y recogiendo su "rastro" de alguna manera). No creo que ninguno de mis profesores se hubiera atrevido a decirles a los estudiantes algo así.

Pero los conjuntos, ¿qué son los conjuntos? No tenemos conjuntos en la vida real, al menos no en el sentido matemático, e incluso las colecciones que tenemos en la vida real a menudo no se identifican con conjuntos. Esto causa una tensión mental cuando tratamos de dar a los conjuntos alguna manifestación física.

Si $\pi$ es la longitud de la mitad de un círculo con radio $1$; y si $\frac23$ es el número de "hijos/hijas" que tienen mis padres; y si $1$ es el número más solitario... entonces ¿qué es un "conjunto"?

Si consideramos los conjuntos como colecciones sin orden ni repetición, entonces podemos pensar en los conjuntos como familias, o aulas, o naciones, o la bandada de gatos callejeros que viven alrededor del contenedor local. Estas son colecciones de objetos, sin repetición y sin un orden particular.

Pero aquí está lo importante. Estamos acostumbrados a que los objetos matemáticos signifiquen cantidad, esto es obvio por cómo la persona común a menudo confunde las matemáticas con un montón de ecuaciones que "resolvemos para $x$". Si ese es el caso, ¿qué cantidad medimos con los conjuntos?

La respuesta puede sorprenderte, no medimos cantidades con conjuntos, y no todos los objetos matemáticos son números o significan cantidad. Más bien, los objetos matemáticos representan estructura, y la cantidad se puede pensar como una forma de estructura. En ese caso, los conjuntos representan la estructura mínima posible, a la que agregamos más. Pero déjenme detenerme aquí, esta publicación es lo suficientemente larga como está.

Answer 3

El concepto de conjunto ha evolucionado a lo largo de la historia de las matemáticas. La idea general es que tenemos algún tipo de propiedad (por ejemplo, descrita por una fórmula lógica) y queremos capturar todos los elementos de nuestro universo matemático que satisfacen esta propiedad en algún tipo de colección.

Sin embargo, pronto se descubrió que es muy complicado definir conjuntos correctamente. La simple definición que dice para cualquier fórmula $\phi$ tenemos un conjunto $S_\phi$ tal que $x\in S_\phi \;\leftrightarrow\; \phi(x)$ implica contradicciones, como el paradoja de Russell: Si elegimos $\phi(x)\equiv x\not\in x$ entonces obtenemos la contradicción $S_\phi\in S_\phi \;\leftrightarrow\; S_\phi\not\in S_\phi$.

Esto llevó a una formulación precisa del concepto utilizando teorías axiomáticas, como la teoría de conjuntos ZFC. Tales teorías axiomatizan precisamente qué conjuntos existen (en dicha teoría) y te proporcionan herramientas para demostrar la existencia de ciertos conjuntos. La idea es poder definir todos los conjuntos que naturalmente sentimos que deberían existir, pero evitar contradicciones como la paradoja de Russell.

Por ejemplo, vamos a demostrar en ZFC que para cualquier conjunto dado $x$ hay un conjunto de todos los pares no ordenados seleccionados de $x$:

• Por el Axioma del Conjunto Potencia hay un conjunto $P(x)$ tal que contiene precisamente cada subconjunto de $x$: $(\forall z)[z\subseteq x \leftrightarrow z\in P(x)]$.

• La fórmula

  $$\psi(y)\;=\; \exists u\exists v[u\neq v\land\forall w[w\in y \leftrightarrow [w=u\lor w=v]]].$$

  afirma que $y$ tiene exactamente dos elementos. Aplicando el [Esquema de Axiomas de Especificación](https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos_de_Zermelo-Fraenkel#3._Esquema_de_axiomas_de_especificaci%C3%B3n_(tambi%C3%A9n_llamado_esquema_de_axioma_de_separaci%C3%B3n_o_de_comprensi%C3%B3n_restringida.) en esta fórmula y en $P(x)$ demostramos la existencia del conjunto de todos los subconjuntos de dos elementos de $x$.

Pero en general no tienes (ni puedes) tener herramientas para decidir la existencia de conjuntos; para algunos conjuntos puedes demostrar su existencia, para otros no. Por ejemplo, en ZFC no puedes demostrar (ni refutar) la hipótesis del continuo que afirma

No hay ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales.

Resulta que es consistente con ZFC que exista tal conjunto o que no exista.

Answer 4

En matemáticas, no simplemente dices, por ejemplo, que el conjunto $S$ existe. Agregarías algún calificador, por ejemplo, existe un conjunto $S$ con alguna propiedad $P$ común a todos sus elementos.

De la misma manera, para la no existencia de un conjunto. No simplemente dices que el conjunto $S$ no existe. También agregarías un calificador aquí, por ejemplo, no existe un conjunto $S$ con alguna propiedad $P$ común a todos sus elementos.

¿Cómo estableces que un conjunto existe? Depende de tu teoría de conjuntos. En ZFC, por ejemplo, solo se te da el conjunto vacío para empezar, y reglas para construir otros conjuntos a partir de él, conjuntos que también se presupone que existen.

En otras teorías de conjuntos, ni siquiera se te da el conjunto vacío. Entonces la existencia de cada conjunto está condicionada a la existencia de otro(s) conjunto(s). Entonces no puedes probar realmente la existencia de ningún conjunto.

Para probar la no existencia de un conjunto $S$ con la propiedad $P$ común a todos sus elementos, primero postularías su existencia, luego derivarías una contradicción, concluyendo que tal conjunto no puede existir.

Answer 5

¿Existe un significado preciso de la palabra 'existir', qué significa para un conjunto existir?

En muchos contextos, la palabra 'existir' tiene un significado preciso. Si se omite el contexto, su significado se vuelve vago. La situación es más complicada para la existencia de un conjunto, porque su existencia ("supuestamente") requiere la existencia de sus elementos, pero la existencia de sus elementos no siempre es suficiente para garantizar la existencia del conjunto en sí mismo.

¿Y qué significa para un conjunto 'no existir'?

Una situación común para que un conjunto 'no exista' es que la "colección abstracta" sea una clase propia en lugar de un conjunto. Un poco menos común es la situación en la que la "colección abstracta" contiene algunos elementos "probablemente" no existentes.

¿Y qué es un conjunto, cuál es la definición precisa de un conjunto?

Diría que un 'conjunto' debería "modelar" una "colección extensional de objetos existentes". Esto debe contrastarse con una "colección intensional de objetos potenciales", a la que podríamos llamar 'clase intensional propia'. La colección de todos los conjuntos con dos elementos es un ejemplo típico de tal 'clase intensional propia'. Por otro lado, cada conjunto específico de dos elementos en esta colección es un 'conjunto' existente perfectamente válido. Sin embargo, debo agregar que hay una zona gris entre estos dos extremos, por ejemplo, una "colección intensional de objetos existentes" a menudo será un conjunto, pero no estoy seguro de que este sea siempre el caso.

Nota: Con "extensional", me refiero a que un conjunto se define (o puede definirse) por los elementos que contiene. Con "intensional", me refiero a la intención detrás de la definición de una colección. Estoy pensando en funciones polimórficas en lenguajes de programación modernos (por ejemplo, "plantillas" en C++) cuando escribo esto.