He descubierto otra propiedad o definición de e?

Question

Yo podría haber tropezado con una propiedad de Euler constante, $e$.

Conjetura: $$ \lim_{a \to 0}\prod_{n=0}^\infty (1 + a(1-a)^{n}) = e $$

Tomar la progresión geométrica 0.5, 0.25, 0.125 ... donde Tn = 0.5 * 0.5^n. Ahora definir una nueva serie, cuyos términos son iguales a (1+Tn). Que es: 1.5, 1.25, 1.125 ... Multiplique el primer $x$ términos de esta secuencia juntos, para rendir $y$. Como $x$ enfoques infinito, $y$ enfoques de aproximadamente 2.384.

La progresión geométrica que empezamos con una suma que se acerca 1. Infinita otras progresiones geométricas también se suma a la solución 1. Una progresión geométrica puede ser definida por dos variables: es a partir de plazo, $a$, y la proporción, $r$, entre cada término y el anterior. La suma de una progresión geométrica de los enfoques $a$/(1-$r$). Por lo tanto, el conjunto de secuencias de cuya suma se aproxima a una se define por la relación $a$ = 1-$r$.

Mi conjetura es esta: como $a$ se aproxima a 0, el infinito producto de (1+Tn) enfoques e. Usando una hoja de cálculo, he calculado el producto de la primera de 10.000 términos al $a$ = 0.001. Este rendimiento aproximadamente 2.7176, poco menos de la e.

Agradecería si alguien pudiera) muestran que este método no produce $e$; o b) demostrar que es $e$

Answer 1

$\sum_{n=0}^\infty \ln(1 + a(1-a)^{n})\leq\sum_{n=0}^\infty a(1-a)^{n}=1$ es inmediata.

Ahora, para un límite inferior. Tenga en cuenta que $a(1-a)\rightarrow 0$ y $a(1-a)^n>a(1-a)^{n+1}$.

Desde $\ln(1+x)$ es cóncava, tenemos $\ln(1+x)\geq \dfrac{\ln(1+d)}{d}x$ siempre $x\in[0,d]$.

Por lo tanto, un límite inferior para la suma es $\dfrac{\ln(1+d)}{d}$ donde $d=a(1-a)$. Ahora hacer $a$ arbitrariamente pequeño.

Answer 2

Respuesta parcial:

Como he agregado a su pregunta, usted está tratando de mostrar que $$ \lim_{a \to 0^+}\prod_{n=0}^\infty (1 + a(1-a)^{n}) = e $$ Es equivalente a demostrar que $$ \lim_{a\to 0^+}\log\left(\prod_{n=0}^\infty (1 + a(1-a)^{n}) \right) = \lim_{a\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \log(1 + a(1-a)^{n}) = 1 $$ A tal efecto, basta con señalar que para suficientemente pequeño (positivo) $a$, $$ \sum_{n=0}^\infty \log(1 + a(1-a)^{n}) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m+1}}{m}[a(1-a)^{n}]^m = \\ \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{m+1}}{m}[a(1-a)^{n}]^m = \\ \sum_{n=0}^\infty [a(1-a)^{n}] + \sum_{m=2}^\infty\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{m+1}}{m}[a(1-a)^{n}]^m =\\ \sum_{n=0}^\infty [a(1-a)^{n}] + \sum_{m=2}^\infty \left(a^{m-1}\frac{(-1)^{m+1}}{m}\sum_{n=0}^\infty [(1-a)^{m}]^n\right) =\\ \sum_{n=0}^\infty [a(1-a)^{n}] + \sum_{m=2}^\infty \frac{(-1)^{m+1}}{m}\cdot \frac{a^{m-1}}{1 - (1-a)^m} $$ Esto es suficiente para mostrar que el término de la izquierda enfoques $1$, mientras que el término de la derecha enfoques $0$.