El polinomio de juego problema: ¿tenemos la estrategia ganadora para este juego?

Question

Estoy pensando en algún problema de la teoría del juego. Aquí está,

Problema: Consideremos el polinomio de la ecuación de $x^3+Ax^2+Bx+C=0$. A priori, $A$,$B$ y $C$ son "los indecisos", sin embargo, y dos jugadores de "Niño" y "Niña" que están jugando el juego en la siguiente forma:

1. En primer lugar, el "Chico" elige un número real.
2. Entonces, la "Niña" que decide la posición de ese número entre $A$,$B$ y $C$.
3. Repite este proceso tres veces, decidir sobre todos los valores de $A$,$B$ y $C$.

Si el final polinomio tiene todos los distintos entero raíces, el Niño gana. De lo contrario, la Chica gana.

La pregunta es: ¿alguno de Niño o Niña tiene alguna "Estrategia Ganadora"? Si es así, que tiene uno?

A mí me parece, obviamente, el chico tiene una gran ventaja. Aquí está mi intento de argumento: Si el niño sugieren "$0$" en el primer giro, independientemente de la decisión de la niña podemos hacer que el polinomio tiene tres distintas entero raíces. En realidad, mi argumento tiene "casi" trabajado. por ejemplo,

1. Si la muchacha se puso a $0$ en la posición $A$, entonces el niño debe sugerir "$-84$" en la segunda ronda. Entonces, en cualquier caso, siempre tenemos tres diferentes raíces, es decir, $(10,-2,-8)$ o $(-3,-4,7)$.
2. Si la muchacha se puso a $0$ en la posición $C$, entonces el niño debe sugerir "$-1$" en la segunda ronda. Entonces, en cualquier caso, siempre tenemos tres diferentes raíces, es decir, $(-1,2,0)$ o $(1,-1,0)$.
3. Sin EMBARGO, si la muchacha se puso a $0$ en la posición $B$, no pude encontrar un buen número para la segunda ronda.

Ha mi estrategia para ganar algún problema? O tiene a la chica una estrategia ganadora de alguna manera?

Gracias por cualquier ayuda de antemano!

Answer 1

Si la chica pone $0$ en la posición $B$, el niño puede elegir $1764$, lo que resulta en las raíces $[-6, 7, 42]$ o $[-864, -1440, 540]$.

EDIT: Si el polinomio $(x-a)(x-b)(x-c)$$ab+bc+ac=0$,$c = -ab/(a+b)$. Escrito $t = a+b$, tenemos $t$ brecha $ab = at - a^2$. Por lo tanto $t$ es un divisor de a $a^2$.

He aquí una de Arce programa que busca la solución de $1764$, junto con algunos otros. Para enteros positivos valores de $a$, se ve en cada divisor $t$ $a^2$ (positivos y negativos), se calcula el correspondiente $b$$c$, y los correspondientes valores de los coeficientes de $A$ $C$ del polinomio, almacenar debajo de los índices de los valores de $[a,b,c]$. A continuación, creamos un índice que aparece de tanto en$A$$C$.

for a from 1 to 1000 do
  for t in numtheory:-divisors(a^2) union map(`*`,numtheory:-divisors(a^2),-1) do
     b:= t-a;
     c:= -a*b/t;
     if nops({a,b,c}) < 3 then next fi;
     A[-a-b-c]:= [a,b,c];
     C[-a*b*c]:= [a,b,c];
  od
od:
{indices(A)} intersect {indices(C)};

$$\{[-12348], [-1764], [1764], [3136], [12348]\}$$

A[1764], C[1764];

$$[42, 7, -6], [540, -864, -1440]$$