Editar La siguiente es una simplificado en gran medida de la forma de la respuesta original. (Ver el historial de edición, si te interesa).
Creo que la imagen es en realidad es $(1,0)$. La primera coordenada es fácil: teniendo en cuenta la compostion $SO(3)\rightarrow SO(3)\times S^2\rightarrow SO(3)$ donde el segundo mapa es la natural proyección de $\pi$, podemos ver que $\pi_\ast i_\ast = Id_\ast$$H_3(SO(3)) \cong \mathbb{Z}$. Desde $\pi$ es un isomorfismo cuando se limita a $$H_3(SO(3))\oplus 0\subseteq H_3(SO(3))\oplus H_1(SO(3))\otimes H_2(S^2)$$ this implies that the first coordinate is a $1$.
La segunda coordenada $0$ lleva más trabajo. El punto de partida es el uso de connaturalidad de la reducción de la $$H_3(SO(3);\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Z}/2 \rightarrow H_3(SO(3); \mathbb{Z}/2)$$ to see that $$i_\ast([SO(3)] = (1,0)\in H_3(SO(3)\times S^2)$$ iff $$ i_\ast [SO(3)] = (\overline{1},\overline{0}) \in H_3(SO(3)\times S^2; \mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2. \, \, \, (\ast\ast)$$
Para calcular la segunda $i_\ast$ mapa, considerar en primer lugar el mapa de $\phi:SO(3)\times SO(3) \rightarrow SO(3)\times S^2$$\phi(A,B) = (A,B^{-1} v_1)$. El punto es que $i = \phi\circ \Delta$ donde $\Delta:SO(3)\rightarrow SO(3)\times SO(3)$ es la diagonal de la incrustación. Así, se puede calcular el $i_\ast$$\phi_\ast \Delta_\ast$.
El mapa de $\Delta_\ast$ es fácil - se envía a$[SO(3)]$$[SO(3)\otimes 1] + [1\otimes SO(3)]$, por lo que sólo necesitamos entender $\phi_\ast$$[SO(3)\otimes 1]$$[1\otimes SO(3)]$. Pero desde $\phi$ es simplemente un producto de mapas, vemos a $\phi_\ast[SO(3)\otimes 1] = [SO(3)\otimes 1]$ $\phi_\ast [1\otimes SO(3)] = 0$ desde $H_3(S^2;\mathbb{Z}/2) = 0$.
