En la siguiente prueba se divide el $(x,y)$ avión en las regiones (véase el diagrama) y mostrar que cada región puede no contienen soluciones, excepto en la línea $x + y = 0$.
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Vamos
$$
F(x,y) = U(x,y)V(x,y) – y
$$
donde
$$
U(x,y) = \sqrt{y^2 – x} \,\, – x
\\V(x,y) = \sqrt{x^2 + y} \,\, – y
$$
A continuación, las soluciones de satisfacer
$$
F(x,y) = 0
$$
La sustitución de $y=-x$ muestra que $x+y=0$ es una solución para todo x.
U es nonreal donde $x>y^2$ (regiones a y C en el diagrama, delimitado por las líneas de color rojo) y V es nonreal en la región $y<-x^2$ (regiones B y C, también delimitada por líneas rojas). En estas regiones F es nonreal excepto posiblemente en la región C, donde U y V son irreales. Pero la condición para que F sea real se reduce a $x+y=0$, un subconjunto de la conocida solución.
Las siguientes afirmaciones y deducciones se refieren a las otras regiones de la $(x,y)$ avión, donde $U$ y $V$ son reales.
$U<0 \Leftrightarrow x>\tfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{1 + 4y^2})$ (regiones I, J).
$V<0 \Leftrightarrow y>\tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 4x^2})$ (todas las regiones excepto F, G).
$U_{x} < 0$ (regiones D-K)
$V_{x} < 0 \Leftrightarrow x < 0$ (regiones D, E, F)
$U_{xx} < 0$ (regiones D-K)
$V_{xx} < 0 \Leftrightarrow y < 0$ (regiones D, J, K)
donde el subíndice x indica diferenciación parcial con respecto a x.
En el diagrama de las líneas en las que $U=0$ y $V=0$ son de color verde y azul, respectivamente. Es fácilmente demostrado que $F$ es distinto de cero en todas las líneas de colores (con signo como se ha indicado), excepto en $(0,0)$ y $(1,-1)$. Estas líneas delimitan, pero están excluidos de las regiones A-K.
A partir de los resultados anteriores podemos hacer las siguientes deducciones.
En la región D:
$$
U>0, V>0, U_{x}<0, V_{x}<0
\\F_{x} = UV_{x} + VU_{x} < 0
$$
Esta región está delimitada a la derecha por la línea $y<-x^2$, de los cuales $F>0$. Por lo que $F>0$ a lo largo de la región D y no puede contener soluciones.
En la región E:
$$
U>0, V>0, U_{x}<0, V_{x}<0
\\F_{x} < 0
$$
así que aquí no puede haber soluciones distintas de las que se conoce su existencia en la línea $y=-x$.
En la región F:
$$
U>0, V<0, U_{x}<0, V_{x}<0, U_{xx}<0, V_{xx}>0
\\F_{xx} = UV_{xx} + VU_{xx} + 2U_{x}de {V_{x} > 0
$$
Esta región está limitada a la izquierda por la línea $V=0$ y a la derecha por la línea $x = 0$, y en estas dos líneas $F<0$. Así que el positivo de la derivada segunda de $F_{xx}$ significa que no puede haber soluciones de $F=0$ en esta región.
En forma similar, las soluciones pueden ser descartadas por los siguientes regiones:
En la región G, delimitada en derecho por la línea $V=0$ a que $F<0$:
$$
U>0, V<0, U_{x}<0, V_{x}>0
\\F_{x}>0
$$
En la región I, limitada a la izquierda por la línea de $U=0$ a que $F<0$:
$$
U<0, V>0, U_{x}<0, V_{x}>0
\\F_{x} < 0
$$
En la región J, que contiene un segmento de la conocida solución de la línea de $x+y=0$ a que $F=0$:
$$
U<0, V>0, U_{x}<0, V_{x}>0
\\F_{x} < 0
$$
En la región K, delimitado, a la izquierda y a la derecha por líneas en las que $F>0$:
$$
U>0, V>0, U_{x}<0, V_{x}>0, U_{xx}<0, V_{xx}<0
\\F_{xx} = UV_{xx} + VU_{xx} + 2U_{x}de {V_{x} < 0
$$
Finalmente, en la región H:
$$
U>0, V>0, U_{x}<0, V_{x}>0
$$
y nos cuenta que $U_{x}<0$ en la región G también, así que para un determinado $y$,
$U<U_{max}$, donde $U_{max} = U(0,y) = y$
Para el mismo valor de y, $V<V_{max}$, donde $V_{max} = V(X,y)$, y X es el valor de x en la mano derecha de la frontera de la región. En este límite, $y=\sqrt{X^2+X}$, por lo que
$$
V_{max} = V(X,y) = \sqrt{X^2+y} \, – y
< \sqrt{X^2+X+y} \, - y = \sqrt{y^2 + y} \,\, – y < \tfrac{1}{2}.
$$
Por lo tanto
$$
F = UV – y < U_{max} V_{max} – y < y \tfrac{1}{2} – y = \, –\tfrac{1}{2} y < 0
$$
lo que completa la prueba de que no hay otras soluciones, además de $x+y = 0$.
