¿Por qué $\ln(x) = \epsilon x$ tienen 2 soluciones?

Question

Yo estaba trabajando en un problema que implica la perturbación de los métodos y me pidió un bosquejo de la gráfica de $\ln(x) = \epsilon x$ y explicar por qué se debe tener 2 soluciones. Claramente hay una solución cerca de $x=1$ de los que depende el valor de $\epsilon$, pero no veo por qué debe haber una solución cerca de $x \rightarrow \infty$. Fue mi entendimiento de que $\ln x$ no tiene asíntota horizontal, y continúa creciendo indefinidamente, donde para valores pequeños de a $\epsilon, \epsilon x$ debe crecer increíblemente lenta. ¿Cómo puedo " ver " que hay dos soluciones?

Gracias!

Answer 1

La pendiente de $\log x$ cae como $1/x$. Así, por ejemplo, $x>1/\varepsilon$ el logaritmo siempre crece estrictamente más lento que el de $\varepsilon x$, y el último eventualmente adelantar.

Más precisamente, si la ponemos a $a=2/\varepsilon$, entonces en cualquier punto a la derecha de $a$, la función de $\varepsilon x$ de las ganancias a menos $\varepsilon/2$ sobre el logaritmo de cada unidad de incremento en $x$. Por lo tanto, $\varepsilon x$ mayor que la de $\log x$ a más tardar en $x=a+\frac{2\log a}{\varepsilon}$.

Answer 2

Justo después de la primera solución, tienes que $\ln x>\epsilon x \Rightarrow \ln x-\epsilon x>0$. Sin embargo, $$\lim_{x\to\infty}(\ln x-\epsilon x)=\lim_{x\to\infty}\ln\frac{x}{e^{\epsilon x}}\\infty $$ desde $\frac{x}{e^{\epsilon x}}\to 0$. (Asumiendo $\epsilon>0$)

Por lo tanto, $\ln x-\epsilon x$, se debe cruzar el $x$-eje de un segundo tiempo que le da a su segunda solución.

Answer 3

Para todos los $\varepsilon>0$ usando la regla de L'Hospital $$\lim\limits_{x \to +\infty} {\dfrac{\varepsilon x}{\ln{x}}}=\varepsilon \lim\limits_{x \to +\infty} {\dfrac{x}{\ln{x}}}=\varepsilon \lim\limits_{x \to +\infty} {\dfrac{1}{\frac{1}{x}}}=+\infty.$$

Answer 4

Poner $$f(x) = {\ln(x)\over x}.$$
Entonces usted tiene $$f'(x) = {1 - \ln(x)\over x^2}.$$ Al $x > e$, la función de $f$ disminuye; de hecho, es fácil ver que disminuye a cero como $x\to\infty$. Cuando $x < e$, $f$ aumenta. Usted puede ver que tiene la $y$-eje como una asíntota vertical.

La gráfica tiene un máximo global en $x = e$; $f(e) = 1/e$. Tenga en cuenta que esta función está definida sólo cuando $x > 0$.

Ahora vamos a $0 <\lambda < 1/e$. El gráfico de la huelga de la línea horizontal $y = \lambda$ una vez en $(0,e)$ y una vez en $(e,\infty)$.