Si $G$ es un grupo muestra que si $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$ entonces $G$ debe ser abeliano.

Question

Si $G$ es un grupo muestra que si $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$ entonces $G$ debe ser abeliano.

$\begin{aligned}(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 & \iff (a\cdot b)\cdot(a \cdot b) = (a \cdot a)\cdot (b \cdot b) \\& \iff a \cdot (b \cdot (a \cdot b)) =a(a \cdot (b\cdot b)) \\& \iff (a^{-1} \cdot a) \cdot (b \cdot (a \cdot b)) =(a^{-1}\cdot a)(a \cdot (b\cdot b))\\& \iff (b \cdot (a \cdot b)) =(a \cdot (b\cdot b)) \\& \iff (b \cdot a) \cdot b =(a \cdot b)\cdot b\\& \iff (b \cdot a) \cdot (b \cdot b^{-1}) =(a \cdot b)\cdot (b \cdot b^{-1}) \\& \iff b \cdot a = a \cdot b\end{aligned}$

Así, $G$ debe ser abeliano. ¿Es esto correcto? ¿Hay una manera menos torpe de escribirlo si lo es?

Answer 1

Es correcto, pero vamos a ver si podemos abordar la "torpeza".

$$ abab = aabb \qquad \text{Is this right or not?} $$ Multiplicando ambos lados por $a^{-1}$ a la izquierda, obtenemos $$ bab = abb \qquad \text{Is this right or not?} $$ Multiplicando ambos lados por $b^{-1}$ a la derecha, obtenemos $$ ba = ab \qquad \text{Is this right or not?} $$ Todo esto es correcto si en los puntos apropiados invocamos asociatividad . Lo que aparece arriba es realmente la idea de la prueba, y las invocaciones necesarias de la asociatividad están jugando un papel esencialmente técnico en este argumento. Tal vez "torpe" significa que todas las cosas necesarias para el rigor lógico camuflan la idea central, que uno desea exhibir. Esa es una razón para quitar los "lemas" del camino antes de llegar a la idea central de un argumento.

Answer 2

Más simplemente, $(ab)^2=abab=a^2b^2$

Cancelar $a$ de la izquierda y $b$ desde la derecha para conseguir $ba=ab$ .