Cuando son dos semidirect productos isomorfos?

Question

Vamos $N$, $H$ grupos, y $\varphi : H \to \operatorname{Aut}(N)$ un grupo homomorphism. Podemos formar $N \rtimes_{\varphi} H$, el semidirect producto de $N$ $H$ con respecto al $\varphi$.

Es allí una manera de determinar si $\varphi_1, \varphi_2 : H \to \operatorname{Aut}(N)$ de plomo para isomorfo semidirect productos por sólo comparando $\varphi_1$$\varphi_2$?

Answer 1

Es muy interesante el papel de Arzhantseva, Lafont y Minasyan, Isomorfismo frente a conmensurabilidad para una clase de finitely presentado los grupos, donde se discute el isomorfismo de semidirect productos con el infinito cíclico grupo. Escrito $\widehat{\phi}$ para el exterior automorphism de $H$ correspondiente a $\phi\in\operatorname{Aut}(H)$, a probar el siguiente resultado.

Teorema: Supongamos $K\cong\mathbb{Z}$ $H$ no surject en $\mathbb{Z}$. Luego de dos semidirect productos $H\rtimes_{\phi} K$ $H\rtimes_{\psi}K$ son isomorfos si y sólo si $\widehat{\phi}$ es conjugado a $\widehat{\psi}$ o $\widehat{\psi}^{-1}$$\operatorname{Out}(H)$, el exterior automorphism grupo de $H$.

Esto es especialmente agradable, ya que les permite construir grupos con el insoluble problema de isomorfismo en un especial de modo elemental. La prueba es la nota que hay finitely presentado los grupos de $H$ que no mapa en $\mathbb{Z}$ y cuyo exterior automorphism grupo ha insoluble problema de palabras. Luego de tomar un grupo de $H$, podemos ver que $H\rtimes_{\phi}\mathbb{Z}\cong H\times\mathbb{Z}$ si y sólo si $\phi$ es la interior, que es indecidible como $\operatorname{Out}(H)$ ha insoluble problema de palabras.

La pregunta ahora es: ¿Qué pasa si sustituimos $\mathbb{Z}$ con cualquier grupo de $K$? Así, uno puede demostrar que un mapa de $H\rtimes_{\phi} K\rightarrow H\rtimes_{\psi}K$ debe enviar $H$ $H$si cada homomorphism de $H$ $K$ha trivial de la imagen. Parece ser que el resto de su prueba de necesidades $K\cong\mathbb{Z}$, pero no estoy del todo seguro. (La prueba pertinente es la Proposición $2.1$ de su papel, si alguien más quiere probar y hacer que funcione?) Así que, básicamente, no sé el caso general, pero me parece que el caso al $K\cong\mathbb{Z}$ muy interesante. Un grupo que se llama una asignación de toro, y que son mucho más estudiado.