Demostrar que no existen enteros positivos $a$ y $n$ tal que $a^2 + 3 = 3^n$ .
He intentado escribir la ecuación de otra manera: $a^2 = 3^n - 3 = 3(3^{n-1} -1)$ pero eso no me lleva a ninguna parte. ¿Debería considerar casos diferentes como $a$ y $n$ siendo impar, $a$ y $n$ estar en paz, etc.?
En primer lugar, puede observar que $a\equiv 0\mod 3$ . Dicho esto, ahora ya sabe que $a=3k$ lo que significa que tienes que demostrar que no existen números enteros positivos $k$ y $n$ tal que
$$9k^2 + 3 = 3^n$$
O, dividiendo por $3$ : $$3k^2 + 1 = 3^{n-1}$$
¿Puedes hacer el último paso?
EDITAR:
También puedes continuar lo que empezaste:
$$a^2=3(3^{n-1} - 1)$$
De esta ecuación se deduce que $a^2$ debe ser divisible por $3$ y como es un cuadrado perfecto, debe ser divisible por $9$ lo cual es imposible.
Me ha gustado tu planteamiento del problema, la verdad es que no me había planteado utilizar las reglas de divisibilidad. Sin embargo, para el segundo planteamiento que has publicado, ¿te importaría explicar por qué a debe ser divisible por 9? Gracias de antemano.
En realidad, me gusta más el segundo método. Y no sólo porque se basa en lo que OP ya encontró.
@LindaKallash Si no hay factor de $3$ en $a$ entonces no hay ningún factor de $3$ en $a\cdot a = a^2$ . Pero si hay es un factor de $3$ en $a$ Eso es, $a = 3b$ entonces $a^2 = (3b^2) = 9b^2,$ por lo que existe un factor de $9$ en $a^2$ .
Tenga en cuenta en primer lugar que $n=1$ da $a=0$ que, aunque es cuadrado, no es positivo como se requiere. Así que $n$ debe ser mayor que $1$ .
Procediendo a buscar una contradicción, supongamos que podemos encontrar $a^2 = 3^n-3 = 3(3^{n-1} -1)$ por lo que necesitaríamos $3 \mid a^2$ . Desde $3$ es primo, esto significaría que $3 \mid a$ y podemos encontrar enteros $k$ tal que $a=3k$ .
Sin embargo eso da $3k^2 = (3^{n-1}-1)$ que requiere $3 \mid (3^{n-1}-1)$ que no es verdad - una contradicción que demuestra que no existe tal $a$ y que $3^n-3$ no puede ser el cuadrado de un número positivo.
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