La extensión de la Lebesgue medibles conjuntos

Question

Mi pregunta es la siguiente :

hay un $\sigma$-álgebra $\mathcal{T}$ (de subconjuntos de a $\mathbb{R^n}$) que contiene estrictamente a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{L}$ de Lebesgue medibles conjuntos (en $\mathbb{R}^n$), y tal, que no es una medida en $\mathcal{T}$ que se extiende la costumbre medida de Lebesgue en $\mathcal{L}$ ?

Supongo que no, pero no he podido encontrar una referencia.

Answer 1

Es posible construir una traducción-invariante estricto de la extensión de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

Este tipo de construcción está esbozado en Fremlin, teoría de la Medida, Vol 4.Hago Ejercicio 442Yc, página 289:

Demostrar que existe un conjunto de $A\subseteq[0,1]$, de Lebesgue exterior de medida $1$, de tal manera que no contables conjunto de se traduce de $A$ cubre cualquier conjunto de medida de Lebesgue mayor que $0$.

Sugerencia:Dejar $\langle F_{\xi}\rangle_{\xi<\frak c}$ más de los innumerables cerrado los subconjuntos de a $[0,1]$ con cofinal repeticiones (4A3Fa), y enumerar los contables de subconjuntos de a$\Bbb R$$\langle I_{\xi}\rangle_{\xi<\frak c}$. Elegir inductivamente $x_{\xi}$, $x'_{\xi}\in F_{\xi}$ tal que $x_{\xi}\notin\bigcup_{\eta,\zeta<\xi}x'_{\eta}-I_{\zeta}$, $x'_{\xi}\notin\bigcup_{\eta,\zeta\le\xi}x_{\eta}+I_{\zeta}$; establecer $A=\{x_{\xi}:\xi<\frak c\}$.

Mostrar que se puede extender la medida de Lebesgue en $\Bbb R$ a una traducción-invariante de la medida por la cual $A$ es insignificante.

Sugerencia: 417A.

El Lema en 417A lee

Deje $(X,\Sigma,\mu)$ ser un semi-finito medida espacio, y ${\cal A}\subseteq{\cal P}X$ una familia de conjuntos tales que $\mu_*(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n)=0$ por cada secuencia $\langle A_n \rangle_{n\in\mathbb{N}}$ en $\cal A$. Entonces no es una medida $\mu'$$X$, extendiendo $\mu$, tal que

(i) $\mu'A$ está definido y cero para cada $A\in\cal A$,

(ii) $\mu'$ es completo si $\mu$ es,

(iii) para cada $F$ en el dominio $\Sigma'$ $\mu'$ hay un $E\in\Sigma$ tal que $\mu'(F \mathbin{\Delta} E)=0$.}

En particular, $\mu$ $\mu'$ han isomorfo medida de álgebras, por lo que el $\mu'$ es localizable si $\mu$ es.

Answer 2

En Halmos el libro de Teoría de la Medida, hay una serie de ejercicios en el capítulo sobre la extensión de las medidas, mostrando que para $\sigma$-finito medidas (tales como la medida de Lebesgue), uno puede, por cada nonmeasurable conjunto de extender la medida a una medida de un $\sigma$-álgebra que contiene ese conjunto. Así que la respuesta es sí.

Answer 3

Mientras que, sin duda, una exageración, permítanme darles una respuesta parcial.

En la teoría de conjuntos no es un concepto conocido como la gran cardenales, estos son los supuestos que no se pueden demostrar a partir de la habitual de los axiomas de ZFC, y a menudo demostrar la consistencia de ZFC (y por lo tanto más fuerte es la teoría).

Una particular gran cardenal axioma es la existencia de una medida de la ampliación de la medida de Lebesgue, que abarca todos los subconjuntos de a $\mathbb R$. Por supuesto no será la traducción invariantes en cada conjunto de números reales, pero no extender la medida de Lebesgue como se solicitó.

Añadido después de Michael respuesta: combinados, las respuestas muestran que podemos probar "leve" incrementos en conjuntos medibles; pero no podemos demostrar que la extensión de medir todos los conjuntos. No sin otros axiomas, de todos modos.

Por supuesto, debo añadir que si uno se decide a tirar el axioma de elección es posible que el que cada conjunto de reales ya es Lebesgue medible, en cuyo caso será imposible extender la medida.