Mientras que, sin duda, una exageración, permítanme darles una respuesta parcial.
En la teoría de conjuntos no es un concepto conocido como la gran cardenales, estos son los supuestos que no se pueden demostrar a partir de la habitual de los axiomas de ZFC, y a menudo demostrar la consistencia de ZFC (y por lo tanto más fuerte es la teoría).
Una particular gran cardenal axioma es la existencia de una medida de la ampliación de la medida de Lebesgue, que abarca todos los subconjuntos de a R. Por supuesto no será la traducción invariantes en cada conjunto de números reales, pero no extender la medida de Lebesgue como se solicitó.
Añadido después de Michael respuesta: combinados, las respuestas muestran que podemos probar "leve" incrementos en conjuntos medibles; pero no podemos demostrar que la extensión de medir todos los conjuntos. No sin otros axiomas, de todos modos.
Por supuesto, debo añadir que si uno se decide a tirar el axioma de elección es posible que el que cada conjunto de reales ya es Lebesgue medible, en cuyo caso será imposible extender la medida.