Es posible formalizar (superior) categoría de la teoría como un único ordenado de la teoría, tal como hicimos con la teoría de conjuntos?

Question

La teoría de conjuntos es típicamente formalizado como una ordenados teoría, sin urelements.

Es posible hacer lo mismo con la categoría de la teoría o de categoría superior a la teoría, la formalización de todo el asunto como una teoría con un único tipo de objeto?

Sé que esto va en contra de lo que algunos creen es el espíritu filosófico de la categoría de la teoría, pero todavía estoy curioso por saber si es posible de todos modos, así como un interesante rompecabezas lógico.

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_{Parece difícil para mí a primera vista. Una "categoría" que tiene un "set" de los "objetos" y otro de "los morfismos." Eso ya cuatro tipos de la cosa de la categoría de conjunto, de objetos, de morfismos.}

_{Sin embargo, es posible identificar un "objeto" con la identidad morfismos en ese objeto. Así, quizás podría usar esta idea para llevar a a sólo tres tipos de cosas - en la categoría de conjunto, y morfismos.}

_{Alternativamente, se podría decir que el "objeto" y "morfismos" son ambos tipos de la más fundamental de n-morfismos, y llegar a un tres clasificados de la teoría de categorías, las series y la n-morfismos.}

_{También puede tratar de formalizar un "conjunto" como una categoría discreta, y traer abajo a sólo dos tipo de cosa de la categoría y (n-)de morfismos.}

_{Si usted va con n-morfismos, tal vez usted podría tratar de identificar todos los n-morfismos con la (n+1)-la identidad de morfismos en él, y ver si se simplifica las cosas de alguna manera.}

_{Las anteriores son algunas de las ideas que yo tenía; ni siquiera estoy seguro de que si hubieran trabajo. Pero suponiendo que hacer, que todavía deja con sólo dos cosas - categorías y morfismos - y no estoy seguro de si es posible ir un paso más allá y llegar a una cosa. Los pensamientos?}

Answer 1

Creo que el truco que Zhen Lin está hablando en los comentarios es la siguiente. (Si me estoy equivocando, por favor, de punto).

Tome $\alpha$ a un cardenal. Una $\alpha$-ordenan la teoría de la $T$ en el primer orden de lenguaje $\mathcal L$ tipo $(X_k)_{k\leq\alpha}$ puede ser visto como un único ordenado de la teoría de $T^+$ en el primer orden de lenguaje $\mathcal L^+ = \mathcal L \cup \{ P_k : k \leq \alpha \}$ cuando la $P_k$ son símbolos de arity 1 relaciones y donde las sentencias de $T^+$ son obtenidos mediante la sustitución de "$\forall x:X_k$" con "$\forall x \, P_k(x) \to$"y "$\exists x:X_k$" con "$\exists x:X_k\, P_k(x) \wedge$" en las sentencias de $T$.

Por ejemplo, el 2-ordenan la teoría de la $$ \forall e:\mathrm{Elts}, \, \exists s:\mathrm{Sets}, \, e\in S $$ en el lenguaje de $\{\in\}$ puede ser entendido como el $1$-ordenan la teoría de la $$ \forall e , \, E(e) \to (\exists s, \, S(s) \wedge e \in S)$$ en el lenguaje de $\{\in, E, S\}$. En cualquier caso, estamos hablando de los conjuntos y elementos y la teoría afirma que cada elemento debe estar contenido en un conjunto.

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Tomando Zhen Lin comentario en cuenta, lo anterior sólo se mantiene para $\mathcal L$ sin símbolos de función y no afirmar que la ley de relaciones en el tipo quería. Así, para cada símbolo de función $f : X_{i_1}\times\dots\times X_{i_n} \to X_k$$\mathcal L$, agregar una nueva relación símbolo $R_f$ de arity $n+1$$\mathcal L^+$. A continuación, añadir a $T^+$ los siguientes axiomas : $$ \forall x_1,\dots,x_n,y,z, \, (R_f(x_1,\dots,x_n,y) \wedge R_f(x_1,\dots,x_n,z)) \to y=z, $$ $$ \forall x_1,\dots,x_n,y, \, R_f(x_1,\dots,x_n,y) \to (P_{i_1}(x_1) \wedge \dots \wedge P_{i_n}(x_n) \wedge P_k(y)).$$ (El primer axioma se asegura de que los $R_f$ es una gráfica de una función parcial).

A continuación, para cada relación símbolo $R$ de arity $n$ $\mathcal L$ con la entrada en el tipo de $X_{i_1} \times \dots \times X_{i_n}$, agregar a $T^+$ el axioma : $$ \forall x_1,\dots,x_n, \, R(x_1,\dots,x_n,y) \to (P_{i_1}(x_1) \wedge \dots \wedge P_{i_n}(x_n)).$$

(Yo no tratar constantes de $\mathcal L$ aquí : constante de símbolos son sólo símbolos de la función de arity $0$.)

Por supuesto, queda a sustituir "$f(x_1,\dots,x_n) = y$" con "$R_f(x_1,\dots,x_n,y)$" en las oraciones de $T$.