prueba de la continuidad de la función

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser un surjective función tal que para todos los que no son secuencias convergentes $(x_n)$, la secuencia de $(f(x_n))$ no es convergente. Demostrar que $f$ es continua. Gracias

Answer 1

Supongamos $y \in \mathbb{R}$ $\{x_n\}$ es una secuencia de puntos tales que $f(x_n) \rightarrow y$. A continuación, la secuencia $\{x_n\}$ debe converger, a decir $x$. Ahora, si $w$ es cualquier número real tal que $f(w) = y$, la secuencia de $(f(x_1),f(w),f(x_2),f(w),\ldots)$ es también una secuencia convergente, lo que significa que $(x_1, w, x_2, w, \ldots)$ deben converger. Esto sólo puede suceder si $w = x$. Tenga en cuenta que sólo hay un $w$ tal que $f(w) = y$. Lo que hemos demostrado aquí es que $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es en realidad un bijection, y que $f^{-1}$ es continua. Pero esto implica que $f$ sí es continua, ya que $f^{-1}$ toma compacto intervalos bijectively para compactar los intervalos.

Answer 2

Creo que mis comentarios conducir a una respuesta.

• $f$ es inyectiva. Si $x ≠ y$ $f(x) = f(y)$ podemos tomar $x_{2k} = x$$x_{2k + 1} = y$. Por lo $(x_n)$ contradice la suposición.

• $g := f^{-1}$ es continua. Tomar cualquier $(x_n) \to x$. Definir $x'_{2k} = x_k$$x'_{2k + 1} = x$. A continuación,$g(x'_n) \to g(x)$$g(x_n) \to g(x)$. De lo contrario, $(g(x'_n))$ no son convergentes, por lo $(fg(x'_n)) = (x'_n)$ también es convergente, la contradicción.

• $g$ restringido a cualquier pacto es una homeomorphism ya que es bijective con dominio compacto (y por lo tanto compacto de la gama).

• Veamos un aumento de la secuencia de intervalos cerrados $I_n$ tal que $\bigcup_n I_n = \mathbb{R}$. Deje $J_n = g[I_n]$ $I_n = f[J_n]$ $f$ y/o $g$ da homomorphism entre intervalos cerrados $J_n$, $I_n$. Ya que también se $\bigcup_n J_n = \mathbb{R}$ $(J_n)$ es creciente, por cualquier $x ∈ \mathbb{R}$ hay $J_n$ tal que $x ∈ U ⊆ J_n$ para algunos $U$. Por lo $f$ es continua en a $x$ desde $f$ restringido a $J_n$ es continua en a $x$.