$\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5$ puede ser considerado como un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{Z}_5$ (la suma es igual a la adición en el grupo abelian modulo $5$, y la multiplicación escalar en realidad proviene de la adición: $v+v=2.v$, $v+v+v=3.v$, $\cdots$)
Por lo tanto, cualquier automorphism de el grupo $\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5$ es también un automorphism del espacio vectorial $\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5$ y por el contrario (debido a la observación en la multiplicación escalar que se hizo anteriormente).
Es bien conocido, ¿cuál es la automorphism grupo de $\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5$? Es
$$
GL(2,5)=
\begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\colon a,b,c,d\in\mathbb{Z}_5, ad-bc\neq 0
\end{Bmatrix}.
$$
Para obtener un elemento de orden $3$$Aut(\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5)$, tenemos que encontrar una no-identidad de la matriz $A$ tal que $A^3=I$. Por lo tanto, $A$ satisface polinomio $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. El factor cuadrático no tiene raíz en $\mathbb{Z}_5$ (de verificación) de modo que es irreductible. Además, $A\neq I$, por lo tanto el polinomio mínimo de a $A$ debe dividir cuadrática factor de $x^2+x+1$. Pero el polinomio mínimo de a $A$ tiene el grado $\leq 2$ (tamaño de la $A$), por lo $x^2+x+1$ es el mínimo (de ahí polinomio característico de a $A$). Podemos encontrar una matriz $A$ explícitamente con tal polinomio característico? Sí, compañero de la matriz
$$
A=
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}.
$$
Ahora llegamos a la construcción de grupo. Deje $\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5=\langle x,y\rangle$$x=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$y=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$. A continuación, $Ax=y$ $Ay=-x-y$ (de verificación).
Considere la posibilidad de $\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_5=\langle x,y\rangle$ multiplicatively, $t$ ser elemento de orden $3$ en su automorphism grupo, y la acción de $t$ en este grupo está dada por (escribir por encima de la acción de $A$ como acción de $t$, con multiplicativo de operación):
$$txt^{-1}=y \,\,\,\, tyt^{-1}=x^{-1}y^{-1}.$$
Así
$$G=\langle x,y,t\colon x^5=y^5=1, xy=yx, t^3=1, txt^{-1}=y, tyt^{-1}=x^{-1}y^{-1}\rangle$$
es un grupo de orden $75$, que no es abelian.
