¿Cuál es la relación entre el caudal del reloj de arena y la gravedad local?
Como en la excelente respuesta a un pregunta relacionada (caudal de reloj de arena frente a la granulometría de la arena) y este documento publicado el caudal másico $Q$ a través de un reloj de arena depende de la gravedad local como
$Q\ \propto\ \sqrt{g}$
Esto se deduce a través del análisis dimensional, como sigue. (Cita de la respuesta de Georg Sievelson enlazada anteriormente).
Consideremos un cilindro de diámetro $D$ con un agujero circular perforado en la parte inferior con radio $a$ . Llenamos el cilindro con una altura $H$ de arena. Si miramos la velocidad de los granos de arena que salen del cubo, observamos (experimentalmente) que no depende de la altura de la arena $H$ , si $H$ es lo suficientemente grande (en comparación con el diámetro $D$ - porque la restricción se satura). Nos quedan dos parámetros: el diámetro del agujero $a$ y el campo gravitatorio $g$ que lo hace caer, por lo que la velocidad de salida $v$ tiene que ser proporcional a $\sqrt{g a}$ . El caudal es la velocidad por la sección, por lo que es $Q \propto v \, a^2$ , por lo que es de orden $Q \propto g^{1/2} a^{5/2}$ (esta es la ley de Beverloo).
Suponiendo que tienes el mismo reloj de arena en la Tierra y en la Luna, entonces el reloj de arena tiene la misma masa de arena para moverse $m$ pero diferentes caudales de masa $Q$ así que tomará un tiempo diferente $t$ . Desde $Q=\frac{m}{t}$ y $Q\ \propto\ \sqrt{g}$ el álgebra simple lo demuestra:
$\frac{t_{Moon}}{t_{Earth}} = \sqrt{\frac{g_{Earth}}{g_{Moon}}}$
Desde $\frac{g_{Earth}}{g_{Moon}}=6$ entonces:
$t_{Moon} = t_{Earth} \sqrt{6}$
Así que su $2$ minuto aquí en la Tierra se convierte en un $\approx 5$ temporizador de minutos en la Luna. Por suerte, tenemos métodos más fiables para medir el tiempo en el espacio.
