Serie Taylor para $\sqrt{x}$ ?

Question

Estoy tratando de averiguar la serie Taylor para $\sqrt{x}$ . Lamentablemente, todas las páginas web y los libros muestran ejemplos para $\sqrt{x+1}$ . ¿Hay alguna razón en particular por la que nadie muestra la serie Taylor para exactamente $\sqrt{x}$ ?

Answer 1

Respuesta corta: La serie Taylor de $\sqrt x$ en $x_0 = 0$ no existe existe porque $\sqrt x$ es no diferenciable en $0$ . Para cualquier $x_0 > 0$ la serie de Taylor de $\sqrt x$ en $x_0$ puede calcularse utilizando la serie de Taylor de $\sqrt{1 + u}$ en $u_0 = 0$ .

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Respuesta larga: El Serie Taylor de una función $f$ que es infinitamente diferenciable en un punto $x_0$ es definido como

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots \quad .$$ Por lo tanto:

• Preguntando por "la serie Taylor de $f$ "sólo tiene sentido si se especifica el punto $x_0$ . (A menudo este punto se asume implícitamente como $x_0 = 0$ , en este caso también se denomina Serie Maclaurin de $f$ .)
• La serie Taylor de $f$ en $x_0$ sólo se define si $f$ es infinitamente diferenciable en $x_0$ . (Pero la serie de Taylor no necesita ser no sea convergente para cualquier $x \ne x_0$ e incluso si converge en una vecindad de $x_0$ el límite puede ser diferente de la función dada $f$ .)

Cada serie de Taylor es una serie de potencia $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ y la conexión es aproximadamente la siguiente: Si existe una serie de potencias tal que $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n \text{ in a neighborhood of $ x_0 $}$$ entonces

• $f$ es infinitamente diferenciable en $x_0$ y
• $a_n = {f^{(n)}(x_0)}/{n!}$ para todos $n$ es decir, la serie de potencias es exactamente la serie de Taylor.

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Ahora aplicando eso a tu pregunta: Está pidiendo la serie Taylor de $f(x) = \sqrt{ x}$ . Si te refieres a la serie Taylor en $x_0 = 0$ : No es definido porque $\sqrt {x}$ no es diferenciable en $x_0 = 0$ . Por la misma razón, no hay ninguna serie de potencias que converja a $f$ en un barrio de $0$ .

Pero $f(x) = \sqrt{ x}$ puede desarrollarse en una serie de Taylor en cualquier $x_0 > 0$ . La fórmula general se da en Respuesta de Mhenni Benghorbal . La razón por la que a menudo sólo la serie de Taylor para $\sqrt{1 + x}$ se da en los libros es que -para la función raíz cuadrada- el caso general puede reducirse fácilmente reducirse al caso especial: $$\sqrt {\mathstrut x} = \sqrt {\mathstrut x_0 + x - x_0} = \sqrt {\mathstrut x_0}\sqrt {1 + \frac {\mathstrut x-x_0}{x_0}}$$ y ahora se puede utilizar la serie de Taylor de $\sqrt{1+u}$ en $u_0 = 0$ .

El mismo "truco" serviría para funciones como $g(x) = x^\alpha$ porque $g(x) = g(x_0) \cdot g(1 + \frac {x-x_0}{x_0})$

Answer 2

Supongo que se refiere a la serie de Taylor en $0$ para $\sqrt{x}$ . Intentemos calcular la serie de Taylor en $0$ : $$f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+f''(0)\frac{(x-0)^2}2+\dots$$ $f(0)=0$ pero $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$ explota en $x=0$ . Desde $\sqrt{x}$ no tiene una primera derivada en $0$ , no tiene una serie de Taylor allí.

Answer 3

Nota: En sentido estricto, lo que se demuestra a continuación es que $\sqrt{x}$ no puede tener una expansión asintótica de la forma $a_0 + a_1 x + o(x)$ como $x \to 0$ .

No hay ninguna serie Taylor para ello en $0$ . Si lo hubiera, sería $$\sqrt{x} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots.$$

Obviamente, $a_0$ tendría que ser $0$ pero $\sqrt{x}$ es mucho mayor que $x \to 0$ que cualquier expansión que empiece por $a_1 x$ . Por ejemplo, tendríamos $$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x} = a_1 + a_2 x + \dots \rightarrow a_1,$$ como $x \to 0$ pero $\frac{1}{\sqrt{x}}$ no tiene un límite finito como $x \to 0$ .

Por otro lado, es fácil obtener la expansión de Taylor para $\sqrt{x}$ en $a > 0$ de la de $\sqrt{1 + x}$ en $0$ . Configuración $h = x - a$ , usted tiene $$\sqrt{x} = \sqrt{a + h} = \sqrt{a}\sqrt{1 + h/a},$$ y luego se expande $\sqrt{1 + h/a}$ en los poderes de $h/a$ .

Answer 4

La respuesta es correcta.

Tenga en cuenta que puede encontrar la serie Taylor de $\sqrt{x}$ en un punto $a>0$ como

$$\sqrt{x} = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\sqrt {\pi }}{2}\,{\frac {{a}^{\frac{1}{2}-n} \left( x-a\right)^{n}}{\Gamma\left( \frac{3}{2}-n \right)n! }}.$$

Ver mi responder .

Answer 5

si $$\sqrt{x}=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$$ entonces $$x=a_0^2+(a_0a_1+a_1a_0)x+(a_0a_2+a_1a_1+a_2a_0)x^2+\dots$$ y si quieres que se cumpla el teorema de la identidad esto es imposible porque $a_0=0$ implicaría que el coeficiente de $x$ es cero