Integralidad de la $\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6}$

Question

He sido invitado a dar una prueba para

Si $n$ es un número entero entonces

$$\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6}$$

también es un entero.

Cualquier ayuda se agradece

Answer 1

Sugerencia:$$\frac{n}{6}(n^2+3n+2)=\frac{n}{6}(n+1)(n+2)$$ ¿Qué se puede decir acerca de la divisibilidad de la $n,(n+1),(n+2)$$2$$3$?

Answer 2

Sugerencia $\ \ \displaystyle \frac{n^3}{6} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{3}\, =\, \frac{n^3+3n^2+2n}6\,=\, \frac{(n+2)(n+1)n}6\, =\, {n+2\choose 3}\in\Bbb Z$

Comentario $\ \ $ Este es un caso especial de un clásico resultado de Polya y Ostrowski $(1920).$ es decir, $\,f(x) \in \mathbb Q[x]$ es un valor entero polinomio, es decir, $f(\mathbb Z)\subset \mathbb Z\:,\:$ fib $f(x)$ es una integral combinación lineal de los coeficientes binomiales ${x\choose k},\:$$\: k\le \deg f$. Para una prueba de ver, por ejemplo, Polya Y Szego, Problemas y teoremas en el análisis, vol II, Problema 85 p. 129 y su solución en la página. 320. Este teorema se ha extendido a la más general de los anillos (por ejemplo, los dominios de Dedekind) por Cahen y otros.

Answer 3

Empezar con $n=1$ y obtendrás $S(1)=\frac13+\frac12+\frac16=1$, así que al menos aquí sabemos que tenemos un número entero de nuevo. Ahora se calculará la diferencia $$ \Delta S(n)= S(n+1)-S(n) = \left(\frac{n+1}{3}+\frac{(n+1)^2}{2}+\frac{(n+1)^3}{6}\right)-\left(\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}\right)\\ $$

$$\hskip1.7in =\frac12n(n+3)+1.$$

Esto le da el valor que tienes que añadir a $S(n)$. Puede usted ver por qué $\Delta S(n)$ siempre da un número entero independiente de $n$?

Si usted puede, usted sabe que, una vez que has empezado con un entero siempre sumar enteros...

Answer 4

Sugerencia: Si usted puede recoger todos los términos juntos en una sola fracción, el problema se reduce a mostrar que el numerador siempre será divisible por el denominador.

Sugerencia 2: ¿sabe usted aritmética modular? Si no, ver a Tim comentario.