¿Cuándo $n+2$ $\mathbb{R}^n$ mentira en un mismo $(n-1)$-esfera?

Question

Al $n=2$, los siguientes resultados son bien conocidos:

Proposición 1. Deje $A,B,C,D$ $4$ puntos distintos en $\mathbb{R}^2$. Están alineados o cocyclic si y sólo si: $$\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\equiv\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\mod \pi.$$

Proposición 2. (Del teorema de ptolomeo) Deje $A,B,C,D$ $4$ puntos distintos en $\mathbb{R}^2$. Son cocyclic si y sólo si una de las siguientes igualdades es verdadera: $$AB.CD\pm AC.DB\pm AD.BC=0.$$

En esta última pregunta está demostrado que cuando $n+1$ $\mathbb{R}^n$ no se encuentran en cualquier afín hyperplane, están en un único $(n-1)$-esfera, lo que me lleva a la siguiente pregunta:

Pregunta. Hay una condición necesaria y suficiente para determinar cuándo $n+2$ $\mathbb{R}^n$ están en un mismo afín hyperplane o en un mismo hypersphere?

Yo fácilmente deriva de las ecuaciones de un afín hyperplane y de un hypersphere que si $x_i:=(x_{i,j})$$n+2$$\mathbb{R}^n$, $x_i$s están en un mismo hyperplane o se acuesta en una misma hypersphere si y sólo si: $$\left|\begin{matrix}{x_{1,1}}^2+\cdots+{x_{1,n}}^2&x_{1,1}&\cdots&x_{1,n}&1\\{x_{2,n}}^2+\cdots+{x_{2,n}}^2&x_{2,1}&\cdots&x_{2,n}&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\{x_{n+1,1}}^2+\cdots+{x_{n+1,n}}^2&x_{n+1,1}&\cdots&x_{n+1,n}&1\\{x_{n+2,1}}^2+\cdots+{x_{n+2,n}}^2&x_{n+2,1}&\cdots&x_{n+2,n}&1\end{matrix}\right|=0.$$ Sin embargo, estoy más interesado en una caracterización que involucran ángulos de la misma manera como en la proposición 1. o distancias como en la proposición 2. En particular, en el caso de $n=3$ hay una condición necesaria y suficiente para expresar una relación entre los ángulos sólidos?

Con respecto al caso de $n=3$, me imagino que para determinar el conjunto de puntos desde donde se puede observar un determinado círculo con una constante de ángulo sólido.

Answer 1

Suponga $x_0 = 0$ por la sencillez y la deje $x_i' = \frac{x_i}{|x_i|^2}$ ser las imágenes de $x_i$'s bajo una inversión centrada en $x_0$. Por una conocida propiedad de inversiones, $x_0,\ldots,x_{n+1}$ mentira en una afín $n-1$-avión o un $n-1$-esfera si y sólo si $x_1',\ldots,x_{n+1}'$ mentira en una afín $n-1$-plano.

Cuando la última se expresa mediante el determinante, esto probablemente se produce una condición análoga a la que se declaró. Sin embargo, creo que este punto de vista es más geométricas en la naturaleza.