La secuencia numérica tiene simetría sobre el cero, con infinidades iguales de valores + y - que se anulan a ambos lados.
¿Se puede decir que los números tienen centros de simetría diferentes al cero? ¿Es posible que algo como la herramienta de cuantificación numérica que utilizamos, pueda tener un centro o estructura lineal, cuáles son sus principales características en el sentido de secuencias, centros y simetrías?
Tienes una noción intuitiva de la simetría de los números (digamos los enteros para concretar) en torno a $0$ y podemos formalizarlo en matemáticas. Una "simetría" suele entenderse como un mapeo de un conjunto a sí mismo que preserva algún tipo de estructura; normalmente la "distancia" entre los elementos del conjunto.
Por ejemplo, una simetría $f$ del cuadrado, como se entiende normalmente, debe tomar cada punto $p$ del cuadrado a otro punto único $f(p)$ y si dos puntos $p$ y $q$ estaban a cierta distancia $d$ entre sí, entonces $f(p)$ y $f(q)$ deben estar a la misma distancia $d$ entre sí. Entendido así, los únicos mapeos que son simetrías del cuadrado son los que se esperan: rotaciones por $90$ o $180$ grados, o reflexiones a través de uno de los cuatro ejes del cuadrado.
Su idea intuitiva de la simetría de los enteros alrededor de 0 corresponde a la observación de que la función $f(x) = -x$ preserva las distancias entre los enteros. La distancia entre dos enteros $p$ y $q$ es $|p-q|$ . Si $|p-q| = d$ entonces $|f(p) - f(q)| = |(-p) - (-q)| = |-p + q| = |q-p| = d$ también. 0 es el centro porque es un "punto fijo" de la simetría, ya que $f(0) = -0 = 0$ .
Pero en este sentido, uno podría elegir cualquier número entero para ser el centro, por ejemplo, 17. La simetría en torno a 17 corresponde a la función $f(x) = 34-x$ . Este mapeo también preserva las distancias, como se puede ver. Pero en lugar de dejar $0$ arreglado, deja $17$ arreglado.
En este sentido, podemos clasificar las simetrías de los números enteros de la siguiente manera:
Simetrías de reflexión del tipo $f(x) = n-x$ Estas simetrías tienen un centro en $\frac n2$ . (Tenga en cuenta que $\frac n2$ puede no ser a su vez un número entero; la simetría $f(x) = 1-x$ es un reflejo alrededor de $\frac12$ .) Su simetría $f(x) = -x$ es de este tipo, con $n=0$ .
Simetrías de traslación del tipo $f(x) = n+x$ ; estas simetrías corresponden a deslizar toda la recta numérica en un sentido u otro, y no tienen centro.
Depende de la estructura que quieras imponer a los números.
Si se consideran los reales sólo como un espacio afín, o como un conjunto totalmente ordenado, entonces no hay un buen sentido en el que se pueda considerar que están "anclados" en cualquier parte. Se puede elegir cualquier lugar y encontrar tantos números en un lado como en el otro.
Si quieres definir una estructura monoide (o una estructura de grupo) sobre los reales, entonces vas a tener que tener un elemento privilegiado para usar como identidad. Eso impone un "centro". Cuando la operación es la suma estándar, entonces se obtiene el 0 como elemento privilegiado. Cuando la operación es la multiplicación, el 1 es el elemento privilegiado, así que en cierto sentido, los reales pueden verse como si tuvieran el 1 como "centro".
Si quieres definir una estructura espacial normada (es decir, algo dotado de la idea habitual de "distancia" derivada de poder medir el "tamaño" de un número), definirás un "centro" exactamente igual que con la estructura monoide, y acabarás con el 0 como "centro".
Si se quiere definir una estructura espacial métrica (es decir, algo con una idea de "distancia" pero en la que los números podrían no tener un "tamaño"), podría no tener un "centro" en absoluto: la métrica discreta sobre los reales es totalmente homogénea sin números privilegiados.
Esta pregunta era la que tenía más profundidad y conceptos para investigar y aprender, y la otra respuesta era la más pragmática y clara. Solo marqué la otra porque tenía 10 aprobados, esta me pareció más misteriosa, la respuesta de teoría aquí tiene la mayor información teórica y soluciones y la versión formalizada es genial también, no pude decidir cuál es la mejor.
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¿A qué llama usted "números"? ¿Números enteros, racionales, reales, complejos? Además, todos estos tipos de números tienen una simetría centrada en cualquier número, bajo una definición adecuada de simetría.