Cómo probar que si a es un ordinal y b está en a, entonces b es un ordinal?
Aquí están las definiciones que estoy usando.
Un conjunto es un número ordinal si es transitivo y bien ordenado ∈.
Un conjunto T es transitiva si cada elemento de T es un subconjunto de T.
Mi dificultad es principalmente que no puedo probar que b es transitiva. ¿Qué es la magia?
Supongamos $\beta\in\alpha$ $\alpha$ es un ordinal. Deje $\gamma\in\beta$. Tenemos que demostrar que el $\gamma\subseteq\beta$. En consecuencia, vamos a $\delta\in\gamma$. Tenemos que mostrar que $\delta\in\beta$.
Desde $\alpha$ es un ordinal, y $\beta\in\alpha$,$\beta\subseteq\alpha$. Por lo tanto, $\gamma\in\alpha$. De nuevo, esto nos da que $\gamma\subseteq\alpha$. Por lo tanto $\delta\in\alpha$.
Ahora consideremos el conjunto $\{\beta,\delta\}$. Desde $\alpha$ está bien ordenado por $\in$, tenemos que uno de los siguientes sostiene: $\beta=\delta$, $\beta\in\delta$, $\delta\in\beta$. Tenemos que descartar las dos primeras opciones.
Si $\beta=\delta$, considerar el conjunto $\{\beta,\gamma\}$ y nota que contradice fundamento: $\gamma\in\beta$$\beta=\delta\in\gamma$.
Si $\beta\in\delta$, considerar el conjunto $\{\beta,\gamma,\delta\}$ y tenga en cuenta que $\beta\in\delta\in\gamma\in\beta$, contradiciendo de nuevo fundamento.
La única opción que nos queda es que el $\delta\in\beta$, como queríamos.
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