Deje $X$ ser un espacio de Banach. Deje $G$ el grupo de invertible lineal de operadores de $X$ a sí mismo. Ahora mis preguntas son:
Pregunta 1: El grupo $G$ de los invertible delimitada lineal de los mapas es un grupo topológico cuando dotado con el operador de la topología de la norma.
[De hecho, como se ha demostrado en este hilo, $G$ es una de Banach Mentira grupo, esencialmente por el mismo argumento.]La multiplicación mapa es continua, ya que es la restricción de la limitada bilineal mapa de $B(X) \times B(X) \to B(X)$$(S,T) \mapsto ST$. La multiplicación es limitada debido a $\|ST\| \leq \|S\|\|T\|$ por la definición del operador de la norma.
Para comprobar que la inversión mapa es continua, basta para comprobar que es continua en un barrio de la identidad. Pero para $S$ $\|S\| \lt r \lt 1$ tenemos que $(1-S)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} S^n$ donde la serie converge uniformemente por majorization con la serie geométrica, como $\|S^n\| \lt r^n$.
Pregunta 2: El grupo $G$ es no un grupo topológico con respecto a la fuerte operador de topología la topología de pointwise convergencia), tan pronto como $X$ es de dimensiones infinitas.
[El finito dimensionales caso es fácilmente reducido a la pregunta 1.]Para ver esto, voy a mostrar que ni la inversión ni la multiplicación son fuertemente continuo para $G$ en un infinito dimensional espacio de Banach $X$.
La adaptación de elemento (5) en la página 4 en estas notas de Hilbert espacios para espacios de Banach, vemos que el conjunto de los operadores de $\mathscr{N} = \{N \in B(X)\,:\,N^2 = 0\}$ está fuertemente denso en $B(X)$.
De hecho, una base para el fuerte operador topología está dada por los conjuntos de la forma $$U(S,x_1,\ldots,x_n, \varepsilon) = \{T \in B(X)\,:\,\|(T-S)x_i\| \lt \varepsilon \text{ for all }i\}$$ with $S \in B(X)$, $x_1,\ldots,x_n \in X$ linearly independent and $\varepsilon \gt 0$.
Dado un conjunto de $U(S,x_1,\ldots,x_n, \varepsilon)$, pick $y_i$ de tal manera que $\|Sx_i - y_i \| \lt \varepsilon$ y $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ son linealmente independientes, por lo que abarcan un $2n$-dimensiones subespacio $Z$. Por Hahn-Banach existe una proyección de $P$ $X$ con rango de $Z$ (puede ser elegido para ser de la norma en la mayoría de las $2n$). Ahora definir $Q(x_i) = y_i$, $Q(y_i) = 0$ y establecer $N = QP$. Por definición,$N^2 = 0$$N \in U(S,x_1,\ldots,x_n,\varepsilon)$.
Este establece que $\mathscr{N}$ está fuertemente denso en $B(X)$. [Aquí nos resultó un poco más de lo que realmente necesitan, pero el esfuerzo adicional que parece mínimo.]
Para $N$ $N^2 = 0$ tenemos $(1+N)(1-N) = 1 = (1-N)(1+N)$, de modo que $1-N$ es invertible con inverse $1+N$. En particular, el $1\pm N \in G$ todos los $N \in \mathscr{N}$.
Ahora si $N_i \in \mathscr{N}$ es una red convergente fuertemente a un operador $A \in B(X)$$\|A\| \lt 1$$A^2 \neq 0$, luego tenemos a $1\pm N_i \to 1\pm A$ fuertemente.
Tenga en cuenta que $\|A\| \lt 1$ asegura que $1 \pm A \in G$, pero $(1-A)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty A^n \neq 1+ A$, debido a $(1+A)(1-A) = 1- A^2 \neq 1$.
Por lo tanto, $(1-N_i)^{-1} = 1+N_i$ no converge a $(1-A)^{-1}$ en el fuerte del operador de la topología en $B(X)$, por lo que la inversión en $G$ no es fuertemente continuo.
La misma construcción también muestra que la multiplicación no es fuertemente continuo, debido a que $(1-N_i) \to 1-A$ $(1+N_i) \to 1+A$ fuertemente, mientras que $1 = (1-N_i)(1+N_i)$ no converge a $(1-A)(1+A) = 1-A^2 \neq 1$.
Finalmente, en una dirección positiva, se puede demostrar que si el primer factor se mantiene acotada, entonces la multiplicación es conjuntamente continua con respecto a la fuerte operador de la topología.
Más precisamente, si $(S_i,T_i) \in B(X) \times B(X)$ es una red para que $\sup_i \|S_i\| \lt \infty$ $S_i \to S$ $T_i \to T$ fuertemente, a continuación, $S_i T_i \to ST$ fuertemente, porque $$ \|(S_i T_i - ST)x\| \leq \|S_i\|\,\|(T_i - T)x\| + \|(S_i - S)Tx\|. $$ Esto puede ser usado para mostrar que el grupo de los isométrica de los operadores de $X \to X$ es un grupo topológico en el fuerte del operador de la topología.
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