Teoremas de la teoría de la medida: Lemma de Fatou, DCT de Lebesgue, TC monótona

Question

En la teoría de la medida hay tres teoremas fundamentalmente relacionados sobre el intercambio de límites e integrales: El lema de Fatou, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue y el teorema de convergencia monótona. Es difícil demostrar cualquiera de ellos desde cero, pero una vez que se tiene uno, los otros son más fáciles.

Mi pregunta es, para los que han aprendido estos teoremas: ¿cuál prefieren demostrar primero? La dificultad, la longitud y, quizás lo más importante, lo esclarecedor que es cada camino son las consideraciones clave. Supongo que también se podría formular la pregunta: si estuvieras dando una clase, ¿en qué orden demostrarías estos teoremas?

He leído todas las pruebas y no parece haber una gran diferencia, pero quizás alguien pueda arrojar nueva luz sobre esta cuestión.

Answer 1

Generalmente he visto MCT -> Fatou -> DCT. La MCT es agradable si la integral se define como la suma de las integrales de todas las funciones simples menores que $f$ . Fatou señala que se puede perder masa al pasar al límite, pero no se puede ganar. Y el SES es bonito de demostrar con dos aplicaciones de Fatou, ya que al darle la vuelta a la cabeza se demuestra que no se puede ganar masa ni positiva ni negativamente.

No estoy de acuerdo con la idea de Jonas de que el SES es el "más grande", ya que no habla de funciones que no están en $L^1$ que los demás; esto suele ser muy importante. Además, veo la hipótesis del DCT como algo ad hoc. En mi opinión, el "mayor" es el teorema de convergencia de Vitali, cuya hipótesis es la integrabilidad uniforme, que es necesaria y suficiente. Pero como es más complicado, a menudo se omite.

Answer 2

Prefiero la dirección: Teorema de convergencia dominante -> Beppo-Levi (convergencia monótona) -> Fatou.

Esta dirección requiere más maquinaria (como Egoroff y la continuidad absoluta de la integral de Lebesgue) pero es en mi opinión más ordenada. Un libro que utiliza este enfoque es Bogachev - Teoría de la medida .

Edición: De este modo, los teoremas posteriores son sólo "corolarios" de DCT, ¡el más "grande"!

Answer 3

Creo que primero aprendí el teorema de convergencia monótona, luego la convergencia dominada y después Fatou. Se podría argumentar que esta secuencia ordena los teoremas en orden creciente de complejidad de la hipótesis.

Answer 4

De hecho, yo añadiría algo más. Para mí sería el teorema de convergencia limitada, luego el lema de Fatou y después el teorema de convergencia monótona seguido del teorema de convergencia dominada.

Creo que el libro de Royden tiene una muy buena manera de demostrar estos teoremas