Si det $A = 0$ $\det B \neq 0$ a continuación muestran que la $abc = -1$

Question

Esto ha estado perjudicando mi cabeza por un tiempo ahora....

Si $$ \det\begin{bmatrix}a&a^2&1+a^3\\b&b^2&1+b^3\\c&c^2&1+c^3\end{bmatrix}=0 $$ Y
$$ \det\begin{bmatrix}a&a^2&1\\b&b^2&1\\c&c^2&1\end{bmatrix} ≠0 $$ A continuación, mostrar que $abc=-1$.

Answer 1

Primera nota de que, $$\begin{vmatrix} a & a^2 & a^3+1 \\ b & b^2 & b^3+1 \\ c & c^2 & c^3+1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \\ \end{vmatrix}=0$$ Entonces, $$abc\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \\ \end-{vmatrix}$$

Por lo tanto, $abc=-1$

Answer 2

La parte difícil es calcular los determinantes y el factor de bien:

$ \det\begin{bmatrix}a&a^2&1\\b&b^2&1\\c&c^2&1\end{bmatrix} = (ab^2+bc^2+ca^2)- (b^2c+c^2a+a^2b) = (a-b)(b-c)(c-a) $

y

$\det\begin{bmatrix}a&a^2&1+a^3\\b&b^2&1+b^3\\c&c^2&1+c^3\end{bmatrix}$

$= (ab^2(1+c^3)+bc^2(1+a^3)+ca^2(1+b^3)) - ((1+a^3)b^2c+(1+b^3)c^2a+(1+c^3)a^2b)$

$= (ab^2+bc^2+ca^2) - (b^2c+c^2a+a^2b)$ $+ (ab^2c^3+bc^2a^3+ca^2b^3) - (a^3b^2c+b^3c^2a+c^3a^2b)$

$= \left[(ab^2+bc^2+ca^2) - (b^2c+c^2a+a^2b)\right] + abc\left[(bc^2+ca^2+ab^2) - (a^2b+b^2c+c^2a)\right]$

$= \left[(ab^2+bc^2+ca^2) - (b^2c+c^2a+a^2b)\right](1+abc)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)(1+abc)$

El resto es fácil.

Answer 3

Aquí es una solución que no requiere ampliar el determinante:

Dado que el determinante de la primera matriz es igual a cero, no es un trivial combinación lineal de las columnas que es igual al vector cero. Por lo tanto, no existe $p,r,q\in\mathbb{C}$, no todos los $0$, de tal manera que $a,b,$ $c$ son soluciones a $$ p x^3+q x^2 + r x+p =0. $$ Si podemos demostrar que $p\neq 0$ y $a,b,$ $c$ son distintos, entonces hemos terminado, ya que en ese caso, $$ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3+\frac{q}{p} x^2+\frac{r}{p} x + 1=0, $$ y por lo $-abc=1$, es decir,$abc=-1$. Ahora, si, sin pérdida de generalidad, $a=b$, luego de las dos primeras filas de la segunda matriz sería igual, y por lo tanto no tiene determinante distinto de cero. Por lo $a,b,$ $c$ son distintos. Del mismo modo, si $p=0$, $a,b,$ $c$ todas satisfacer $q x^2 + r x+p =0$, lo que significa que $q$ veces el medio de la columna de la segunda matriz $r$ los tiempos de la primera columna y $p$ los tiempos de la última columna sería el vector cero, lo que obligaría a que el determinante es igual a cero. Por lo $p\neq 0$, y hemos terminado.