De referencia para la Mentira-álgebra valores de formas diferenciales

Question

Estoy aprendiendo acerca de vector con valores de diferencial de formas, incluyendo formas de tomar valores en un álgebra de la Mentira. En la Wikipedia hay alguna explicación acerca de estos Mentira álgebra valores de formas, incluyendo la definición de la operación $[-\wedge -]$ y la afirmación de que "con esta operación el conjunto de toda la Mentira de álgebra valores de las formas en una variedad M se convierte en un gradual Mentira superalgebra". La explicación en Wikipedia es un poco corto, así que estoy buscando para obtener más información acerca de la Mentira de álgebra valores de las formas. Por desgracia, la página de la Wikipedia no cita ninguna fuente, y una búsqueda de Google no da muy útiles resultados.

Donde puedo aprender acerca de la Mentira álgebra valores de formas diferenciales?

En particular, estoy buscando una prueba de que $[-\wedge -]$ convierte el conjunto de la Mentira álgebra valores de formularios en una gradual Mentira superalgebra. Yo también agradecería alguna información acerca de cómo el exterior derivado $d$ y la operación $[-\wedge -]$ interactuar.

Answer 1

Un $\frak g$valor diferencial de la forma es , que yo sepa, sólo una sección de $\alpha$ del producto tensor de la potencia exterior de la cotangente del paquete de $\Lambda^{\bullet}T^*M$ de algunos colector $M$ con el trivial vector paquete de $M\times\frak{g}$. Como tal, a nivel local en algunas gráfico de dominio $U$, $\alpha$ pueden ser emitidos en el siguiente formulario $$\alpha\equiv\alpha_1\otimes x_1+\cdots+\alpha_n\otimes x_n$$ donde $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ son locales de formas diferenciales en $M$ se define a través de la carta de dominio $U$, e $x_1,\dots,x_n$ es una base de $\frak g$. El diferencial se calcula haciendo caso omiso de la Mentira álgebra términos: $$d\alpha\equiv (d\alpha_1)\otimes x_1+\cdots+(d\alpha_n)\otimes x_n$$ Del mismo modo, el producto está definido por el tratamiento de las formas diferenciales y la Mentira de álgebra elementos como entidades separadas: $$[\alpha\wedge\beta]=\sum_{1\leq i,j\leq n}\alpha_i\wedge\beta_j\otimes[x_i,x_j]$$ Por ejemplo, para una forma pura $\alpha$ grado $p$, lo que usted sabe sobre el exterior diferencial implica inmediatamente que $$d[\alpha\wedge\beta]=[(d\alpha)\wedge\beta]+(-1)^p[\alpha\wedge(d\beta)]$$ También, si $\alpha$ tiene el grado $p$, e $\beta$ tiene el grado $q$, luego $$[\beta\wedge\alpha]=(-1)^{pq+1}[\alpha\wedge\beta]$$

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Creo que el algebraicas preguntas que surgen son lo suficientemente fáciles que estoy seguro que usted puede encontrar todas las relaciones que quieras en tu propio. Sin embargo, siempre se puede echar un vistazo a Peter W. Michor los Temas de la Geometría Diferencial, en particular su capítulo IV, §19, o Morita de la Geometría de la Característica de las Clases.