Si $\sum a_n = +\infty$,$a_n ≥0$, entonces podemos encontrar dos separe de la subserie divergentes

Question

Al intentar resolver un problema de mi teoría de la medida de la clase, me empecé a preguntar sobre el siguiente resultado:

Considere la posibilidad de una secuencia de términos positivos $\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty$ tal que $\sum a_n = +\infty$. Siempre es posible encontrar dos disjuntas subsecuencias $\left \{a_{n_j} \right \}_{j=1}^\infty$ $\left \{a_{k_j} \right \}_{j=1}^\infty$ ejemplo de que? $$\sum_{j=1}^\infty a_{n_j}=+\infty=\sum_{j=1}^\infty a_{k_j}$$ (Distintos medios de$\ \left \{a_{n_j} : j \in \mathbb{N}\right \} \cap \left \{a_{k_j} : j \in \mathbb{N}\right \}=\emptyset$ )

Intuitivamente, parece verdad, pero yo no era capaz de demostrarlo, ni pensar de un contraejemplo.

Dado un conjunto infinito $I\subset \mathbb{N}$, ya que el $$\sum_{n \in I}a_n + \sum_{n \not \in I}a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n = +\infty$$

De ello se desprende que uno de los dos sumandos de la izquierda debe ser divergentes. Si ambas lo son, hemos terminado. Si no lo son, aplicar el mismo proceso a la divergentes suma obtenemos una secuencia $I_1 \subset I_2 \subset ...\subset \mathbb{N}$ tal que $$\sum_{n \in I_k}a_n =+\infty \ \text{and} \ \sum_{n \not \in I_k}a_n <+\infty$$

para todos los $k=1,2,...$

Llegué a este momento, a pesar de que yo soy no sé si esto es útil en absoluto.

Los pensamientos?

Gracias de antemano!

Answer 1

Una idea es hacer "cortes" de la serie, cada rebanada de sumar al menos a $1$, y definir sus dos subsecuencias mirando intercaladamente.

Deje $(a_n)_{n\geq 0}$ una secuencia tal que $\sum_{n=0}^\infty a_n = \infty$.

Vamos $N_0 = \min\{n\geq 0 \mid \sum_{n=0}^\infty a_n > 1 \}$, $N_1 = \min\{n\geq N_0 + 1 \mid \sum_{n=N_0+1}^\infty a_n > 1 \}$, y por inducción definir $N_j = \min\{n\geq N_{j-1} + 1 \mid \sum_{n=N_j+1}^\infty a_n > 1 \}$. (¿Por qué es válida la definición?)

Ahora, usted puede definir sus dos subsecuencias como uno de los índices en la $\bigcup_{j} \{N_{2j},\dots, N_{2j+1}-1\}$ y el uno con índices de $\bigcup_{j} \{N_{2j+1},\dots, N_{2j+2}-1\}$.

Answer 2

Sugerencia: No importa cómo muchos un número finito de términos en la serie ha asignado hasta ahora a sus dos sub-serie, siempre se puede encontrar un posterior finito parcial "cola" de los términos no utilizados hasta el momento, de modo que la suma de los términos en el parcial de la cola es $> \epsilon$ (y usted puede hacer esto para cualquier $\epsilon > 0$). Así que arreglar cualquier $\epsilon > 0$ y, a continuación, asignar parcial colas para cada uno de sus subsecuencias de manera alternada, de modo que son distintos índices y, a continuación, la suma tiende a $\infty$.

Answer 3

Ahí tienes una prueba simple: vamos a $\{a_n\}$ converge a cero y tal que $\sum a_n=+\infty$. Ahora considere el $b_1\geq b_2\geq b_3 \geq \cdots$ el reordenamiento de $a_n$ en orden decreciente. Desde $\{a_n\}$ es positivo, $$ \sum_{n=0}^\infty a_n =\sum_{n=0}^\infty b_n = \sum_{n=0}^\infty b_{2n} + \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1}.$$ Podemos demostrar que las dos series en el lado derecho son divergentes. Está claro que $\sum_{n=0}^\infty b_{2n}\geq \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1}$, por la construcción de $b_n$. Supongamos ahora que el último de la serie converge. A continuación, $$ \sum_{n=1}^\infty b_{2n}\leq \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1}, $$ lo que implica que $$\sum_{n=0}^\infty b_{2n}= b_0+\sum_{n=1}^\infty b_{2n}\leq b_0 +\sum_{n=0}^\infty b_{2n+1},$$ y por el acotamiento de $a_n$ (y por tanto de $b_n$), se obtiene la convergencia de ambas series, lo que implica que $\sum a_n<+\infty$, una contradicción. Por lo tanto, hemos encontrado una descomposición de la $\sum a_n$ en dos disjuntas divergentes de la serie. Si $a_n$ no converge a cero, acaba de tomar dos separe las subsecuencias que no convergen a cero y la suma de ellos.