Cuántos $n-$ número que contiene sólo dígitos $ 1,2,3,4,5,6$

Question

Cuántos $n- $ Los números de un dígito pueden formarse a partir de los dígitos $1,2,3,4,5$ y 6, que contiene los números $1$ y $2$ como vecinos.

Dejemos que $p_n$ sea la cantidad de números de n cifras que constan sólo de las cifras 1,2,3,4,5,6, que contiene los números $1$ y $2$ como vecinos.

$$p_{n+1}=p_{n}+(?)$$ Ahora Cómo encontrar $(?)$

Answer 1

Denota por $a_n$ el número de palabras de longitud $n$ que no contienen $12$ o $21$ y no terminar con uno de $1$ o $2$ .

Denota por $b_n$ el número de palabras de longitud $n$ que no contienen $12$ o $21$ y hacer terminar con uno de $1$ o $2$ .

Denota por $c_n$ el número de palabras de longitud $n$ que hacer contienen $12$ o $21$ .

Entonces $a_1=4$ , $b_1=2$ , $c_1=0$ y tenemos el siguiente esquema de recursión: $$\eqalign{a_{n+1}&=4a_n+4b_n\cr b_{n+1}&=2a_n+b_n\cr c_{n+1}&=6c_n+b_n\ .\cr}\tag{1}$$ Es posible eliminar el $a$ y el $b$ de estas ecuaciones, y la siguiente ecuación de diferencia para el $c_n$ resultados: $$c_{n+3}-11 c_{n+2}+26 c_{n+1}+24 c_n=0\qquad(n\geq1)\ .\tag{2}$$ Esta ecuación puede resolverse mediante el "Teorema Maestro". Los valores iniciales que faltan $c_2$ y $c_3$ tienen que ser calculados a mano a partir de $(1)$ . El resultado final es: $$c_n={\rm round}\left(6^n-\left({1\over2}+{7\over 2\sqrt{41}}\right)\left({5+\sqrt{41}\over2}\right)^n\right)\qquad(n\geq1)\ .$$

Answer 2

Empieza por hacer $n$ -palabras de los cinco símbolos $[12],3,4,5,6$ ; hay $\binom{n+4}{4}$ Para cada una de estas palabras, tiene dos posibles ordenaciones de la $1$ y $2$ . Así que $$p_n=2\binom{n+4}{4}.$$

Y $p_{n+1}-p_n=2\binom{n+5}{4}-2\binom{n+4}{4}=2\binom{n+4}{3}$ .

Answer 3

El número de dígitos-números que podemos formar con los dígitos tales que los dígitos $1,2$ son vecinos: $10\cdot 4!$ . Podemos tener $10$ posibilidades( $u,z,y,x$ son dígitos): $1)$ $$12xyzu$$ $2)$ $$21xyzu$$ $3)$ $$x12yzu$$ $4)$ $$x21yzu$$ $5)$ $$xy12zu$$ $6)$ $$xy21zu$$ $7)$ $$xyz12u$$ $8)$ $$xyz21u$$ $9)$ $$xyzu12$$ $10)$ $$xyzu21$$ Las permutaciones para cada posibilidad de dígitos $x,y,z,u$ son $4!$ Hay $10$ casos por lo tanto tenemos $10\cdot 4!$ números.