Se sabe que un polinomio $f\in\mathbb{C}[x]$, cuyo grado es $n$, posee valores enteros en cada uno de los puntos: $0,1,4,\ldots,n^2$. Demostrar que este polinomio posee un valor entero en $m^2$ cualquier $m$.
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El polinomio $g(x) = f(x^2)$ toma valores enteros en $0,\pm 1,\ldots,\pm n$, por lo que es suficiente para mostrar que $g(x-n)$ (que tiene un grado $2n$ y entero de los valores en $0,\ldots,2n$) toma un valor entero en $m$ cualquier $m$. Esto es fácil de ver por escrito $g(x-n)$ en términos de la base $\binom{x}{0},\binom{x}{1},\binom{x}{2},\ldots$ por el espacio de polinomios.
confused
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La primera versión de esta respuesta contiene un error. He corregido eso y lo hizo wiki de la comunidad en caso de que alguien podría encontrar útil.
La siguiente propuesta, junto con los hermosos observación de D. Savitt que si definimos $g(x)=f(x^2)$, el polinomio $g(x-n)$ es de grado $2n$ y tiene valores enteros en $0,1,\ldots,2n$, da otra manera de resolver el problema.
La proposición. Supongamos $g\in\mathbb C[x]$ es un polinomio de grado $n$ $g(k)$ es un número entero para $k=0,1,\ldots,n$. A continuación, $g(k)$ es un número entero para todos los $k\in\mathbb Z$.
Prueba. Procedemos por inducción sobre $n$. Claramente, la demanda tiene por $n=0$, ya que en este caso, el polinomio es constante, y por lo tanto, si tiene un valor entero, se entero en todas partes. Para el paso inductivo, asumiendo $g$ es de grado $n+1$ $g(k)$ se entero por $k=0,1,\ldots,n+1$, definir un nuevo polinomio $h$$h(x) = g(x+1)-g(x)$. Ahora, el más alto grado términos de $g(x+1)$ $g(x)$ cancelar en $h$ e lo $h$ es de grado $n$. Además, por los supuestos sobre los $g$ tenemos que $h(k)$ es un número entero para $k=0,1,\ldots,n$. Por lo tanto, por la hipótesis inductiva $h(k)$ se entero por $k\in\mathbb Z$. Pero esto significa $g(k+1)-g(k)$ es un número entero para cada $k\in\mathbb Z$. Desde $g(0)$ es un número entero, se deduce que el $g(k)$ es un número entero para todos $k\in\mathbb Z$. $\square$
