¿Hay alguna forma en que razonablemente una base sólida de matemáticas de conseguir alrededor de la hipótesis de los teoremas de incompletitud?
Respuesta
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Esencialmente, la respuesta es no (en clásicos de la lógica de primer orden). Si su teoría,T, es capaz de "entender" tanto la adición y la multiplicación de $\mathbb{N}$, entonces uno de la siguiente falla: (1) $T$ es consistente, (2) $T$ es recursiva, (3) $T$ es completa.
Renunciar a (1) es la absoluta peor de los casos para un lógico/matemático. La única vez que alguien iba a pensar en renunciar a esta propiedad es que si ellos pensaban que la teoría de los números naturales es incompatible. Esencialmente, esta posición podría ser ocupado por un ultrafinitist o alguien que cree que PA es inconsistente (véase Edward Nelson).
Renunciar a (2) es inútil para el lógico-matemático. Existe una completa y coherente de la teoría de la aritmética, es decir, $Th(\mathbb{N})$ en el idioma $L=\{+,\times,0,1\}$. Sin embargo, los teoremas de $Th(\mathbb{N})$ no se encuentra de forma recursiva, es decir, no existe ningún algoritmo que nos diga si es o no es una frase en el lenguaje de la aritmética es un teorema de $Th(\mathbb{N})$. Por lo tanto, $Th(\mathbb{N})$ es aburrido para el estudio.
Renunciar a (3) es el más razonable para los propósitos de la investigación y para el "mundo real" de estudio. Todavía hay problemas abiertos en la aritmética básica (véase la Conjetura de Goldbach) y el uso de PA para intentar resolver este problema es todavía posible.
(Como un lado: tenga en cuenta además, que si el GC es independiente de la PA, se puede demostrar, usando ZFC, que $Th(\mathbb{N})\vdash GC$).
