Con su buena pregunta toca a un clásico círculo de ideas en la geometría de espacios de Banach de volver a Banach del libro, y que fue desarrollado por primera vez en más profundidad en el trabajo de Šmulyan, Klee y Día en los años cuarenta y cincuenta. Voy a tratar de dar un esbozo de las intuiciones básicas:
Deje $X$ ser un espacio de Banach con unidad de balón $B_X = \{x : \lVert x \rVert \leq 1\}$, la unidad de la esfera de $S_X = \{x : \lVert x \rVert = 1\}$ y el espacio dual $X^\ast$. Escribir $\langle x^\ast, x\rangle = x^{\ast}(x)$ de la dualidad de vinculación entre el$X^\ast$$X$.
Su "dualidad mapa" $\mathcal{D}$ está determinada únicamente por lo que hace en la unidad de la esfera desde $\mathcal{D}(x) = \lVert x \rVert \mathcal{D}\left(\frac{x}{\lVert x \rVert}\right)$$x \neq 0$, así que centrémonos en la unidad de la esfera. Voy a mirar por primera vez una variante y se refieren a $\mathcal{D}$ después.
Para cada $x \in S_X$ en la unidad de la esfera de definir el conjunto de normas funcionalespor
$$
\nu(x) = \{x^\ast \en B_{X^{\ast}}:\langle x^\ast,x\rangle=1\}.
$$
El conjunto $\nu(x)$ no está vacía por Hahn-Banach, es débil*-cerrado y convexo por definición, por lo $\nu(x)$ es débil*-compacto por el teorema de Alaoglu. Por otra parte, $\nu(x) \subset S_X$ porque $\lVert x^\ast\rVert \lt 1$ implica $\lvert \langle x^\ast, x \rangle \rvert \lt 1$.
Geométricamente, $\nu(x)$ parametriza el apoyo hyperplanes de $B_X$$x \in S_X$: $x^\ast \in \nu(x)$ tenemos que la unidad de la bola se encuentra en sus asociados la mitad de espacio: $B_X \subset \{y \in X : \langle x^\ast, y \rangle \leq 1\}$ $x$ pertenece a sus asociados delimitador hyperplane: $x \in \{y \in X : \langle x^\ast, y\rangle = 1\} \cap S_X$.
El punto de $x \in S_X$ se dice que es un punto de suavidad, si $\nu(x)$ es un singleton, es decir: no hay un único apoyo hyperplane de $B_X$$x$. La idea es que si el punto de $x$ se encuentra en una esquina o en una de dimensiones inferiores de la cara de la unidad de la pelota, a continuación, el conjunto de apoyo a hyperplanes no es única. Comparar estas imágenes de la Wikipedia:
![supporting hyperplanes in x]()
En la foto, a la izquierda hay un único apoyo hyperplane en todos los puntos. Las "esquinas" de la derecha tiene muchos apoyar hyperplanes mientras que los puntos entre dos esquinas tiene un único apoyo hyperplane.
Un espacio de Banach, se dice ser suave si cada $x \in S_X$ es un punto de suavidad. Esta es precisamente la situación de preguntar acerca de: para $x \in S_X$ debemos entonces tener $\mathcal{D}(x) = \nu(x)$.
Una primera de fácil observación relativa suavidad a la estricta convexidad es la siguiente dualidad resultado:
-
Si $X^\ast$ es estrictamente convexa $X$ es suave.
Prueba. Deje $x \in S_X$ y deje $x^\ast,y^\ast \in \nu(x)$. Si $x^\ast \neq y^\ast$, en estricta convexidad de $X^\ast$ implica que el$\lVert \frac{1}{2} (x^\ast + y^\ast)\rVert \lt 1$, de modo que $\frac{1}{2} (x^\ast + y^\ast) \notin \nu(x)$ contradiciendo la convexidad de $\nu(x)$. Por lo tanto, $\nu(x)$ contiene exactamente un punto.
-
Si $X^\ast$ es suave, a continuación, $X$ es estrictamente convexa.
Prueba. Si $X$ no es estrictamente convexa, entonces hay $x,y \in S_X$ $x \neq y$ tal que $\frac{1}{2}(x+y) \in S_X$. Deje $x^\ast \in S_{X^\ast}$ ser tal que $x^\ast\left(\frac{1}{2}(x+y)\right) = 1$. A continuación, debemos tener $x^\ast(x) = 1 = x^\ast(y)$ y por lo tanto tenemos los dos puntos distintos $\iota_X(x), \iota_X(y) \in \nu(x^\ast)$ donde $\iota_X\colon X \to X^{\ast\ast}$ es la canónica de inclusión, por lo $X^\ast$ no es suave.
La conversa de estas dos afirmaciones son erróneas, pero si $X$ es reflexiva podemos concluir: $X$ es estrictamente convexa (resp. lisa) si y sólo si $X^\ast$ es suave (resp. estrictamente convexa).
Añadido: El de arriba "dualidad" entre la convexidad y la suavidad es un principio rector en la teoría y en la mayoría de los fundamentales resultado son similares en espíritu, si es mucho más sutil para probar.
No es difícil mostrar que $X$ es estrictamente convexa si y sólo si $\nu(x) \cap \nu(y) = \emptyset$ todos los $x, y \in X$.
Resumiendo y de la expansión de todos los anteriores:
Si $X$ es suave (en particular, si $X^\ast$ es estrictamente convexa) tenemos un canónica mapa de $\nu \colon S_X \to S_{X^\ast}$ que es inyectiva si y sólo si $X$ sí es estrictamente convexa. Si $X$ es reflexiva, a continuación, estricta convexidad de ambos $X$ $X^\ast$ implica bijectivity de $\nu$.
Sólo bijectivity podría no ser totalmente evidente: Si $X$ es reflexiva y tanto $X$ $X^\ast$ son estrictamente convexa ambos $X$ $X^\ast$ son estrictamente suave, por lo tanto tenemos bien definido y inyectiva mapas de $\nu \colon S_X \to S_{X^\ast}$$\nu^\ast \colon S_{X^\ast} \to S_X$. Las definiciones revelan que $\nu^\ast(\nu(x)) = x$ $\nu(\nu^\ast(x^\ast)) = x^\ast$ rendimiento bijectivity.
Permítanme añadir: Un único apoyo hyperplane debería ser algo así como un plano tangente, por lo que no es de extrañar que uno puede demostrar que el funcional $\nu(x) \colon X \to \mathbb{R}$ es determinado por el Gâteaux derivado de la norma mapa de $N(x) = \lVert x \rVert$: para todos los $y \in X$ hemos
$$
\nu(x)y = \partial_y N(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\lVert x + ty\rVert - \lVert x\rVert}{t}
$$
(desde $N$ es convexa, $y \mapsto \partial_y N(x)$ es lineal). De hecho, la norma de un espacio de Banach es diferenciable Gâteaux en $x \in S_X$ si y sólo si $x$ es un punto de suavidad.
Añadido posterior:
La suavidad y la continuidad de $\nu$ está fuertemente relacionada con la geometría de la unidad de la esfera: Uno puede fácilmente demostrar que para suavizar $X$ el mapa de $\nu\colon S_X \to S_{X^\ast}$ es la norma-débil*-continua. El mapa de $\nu$ es la norma-norma continua si y sólo si la norma es "uniforme de Fréchet diferenciable", así se llama un espacio de Banach uniformemente lisa siempre $\nu$ es la norma-norma continua.
Permítanme terminar diciendo Šmulyan del teorema de aclarar el papel de la convexidad uniforme en su pregunta:
Un espacio de Banach $X$ es uniforme y suave [resp. uniformemente convexo] si y sólo si $X^\ast$ es uniformemente convexo [resp. uniforme y suave].
Por supuesto, esto se generaliza y explica en parte sus observaciones sobre $L^p$, $1 \lt p \lt \infty$
Una referencia para todo esto y mucho más es el capítulo 5 de Megginson del libro (donde estricta convexidad se llama rotundidad) o, alternativamente, recomiendo el libro por Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler. En ambos libros se puede encontrar exhaustivo de exposiciones, un montón de ejemplos y referencias históricas, así como muchos esclarecedor ejercicios.