Definición de soluciones débiles desde el punto de vista geométrico

Question

¿Por qué son soluciones débiles se define como:

Una función de $u \in H^1(\Omega)$ es una solución débil de $$ Lu:=\operatorname{div} (\nabla u)+b\cdot\nabla u+cu=f+\operatorname{div}F, \;\text{en } \Omega $$ si $$ \int_\Omega \nabla \phi\cdot (\nabla u-F)dx=\int_\Omega\phi(b\cdot \nabla u+cu-f) dx $$ es válido para cada $\phi \in C_0^\infty(\Omega).$

Quiero decir, definimos esta nueva noción de "soluciones débiles" con el fin de generalizar soluciones clásicas. A continuación, sólo tenemos un objetivo que es "la solución clásica $\Rightarrow$ solución débil" y si todo es lo suficientemente suave, entonces se sigue que una solución débil es automáticamente un clásico. Si esta es nuestra motivación para definir soluciones débiles, entonces no tendría toneladas de métodos para hacerlo.

Mi punto es ¿por qué este tipo de definición de soluciones débiles es tan importante. Es allí cualquier otras motivaciones como de la geometría o de otros temas para hacer esta definición tan sobresaliente y es allí cualquier otro tipo de definiciones generalizada de soluciones?

Answer 1

En general, usted encontrará por qué una definición que es importante de ver que se utiliza. También, cualquier buen libro de texto de la PDE debe señalar lo que se adquiere mediante la consideración de soluciones débiles. Te voy a dar dos razones.

1. La búsqueda de soluciones clásicas de la PDE de $k$ésimo orden se circunscribe al espacio de $C^k$. Este espacio no es reflexiva, y la debilidad de la compacidad argumentos no son aplicables. En contraste, la debilidad de las soluciones se encuentran en espacios de Sobolev, que normalmente son reflexivos (algunos incluso son espacios de Hilbert, como $H^1$).
2. A veces ni siquiera en el PDE, que nos preocupamos por la mayoría, pero de un principio variacional de algún tipo. El ejemplo más sencillo es el principio de Dirichlet: la minimización de la energía funcional $E(u)=\int |\nabla u|^2$ modelos de un par de cosas en la electrostática y la continuidad de la mecánica. Naturalmente, buscamos minimizar $E(u)$ en el espacio de las funciones que $E(u)<\infty$. Esto nos lleva a la $H^1$ nuevo. A grandes rasgos, en el punto mínimo de la derivada $E'$ debe $0$. Cuando usted escribe lo que esto significa: $$\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(E(u+h\phi)-E(u))=0,\quad \phi\in C_0^\infty$$ y hacer el cálculo, verás que $u$ es una solución débil de $\operatorname{div}\nabla u=0$. (También se podría tomar $\phi\in C^2_0$ o $\phi\in H_0^1$ aquí y obtener la misma noción de solución; hay una cierta flexibilidad en la elección del espacio de funciones de prueba.) Desde este punto de vista, la noción de solución débil surge de forma natural, no como un intento de generalizar algo, pero como una forma de registro que $u$ es un punto fijo de $E$.

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Que dijo, soluciones débiles tienen sus limitaciones. Funcionan bien para el lineal y quasilinear ecuaciones, pero no tan por completo de ecuaciones no lineales como $u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^2=f$. La viscosidad de las soluciones que Anthony Carapetis mencionado, ayuda a lidiar con algunos de ecuaciones no lineales. Y para algunos de la PDE la noción de solución está diseñado ad hoc.

Answer 2

No es una respuesta completa, sólo algunas sugerencias.

Quiero saber si hay alguna explicación de vista geométrico.

La débil formulación del bien posedness (existe una solución, la única) proviene del lema de Lax-Milgram. L-M es generalizada por Nečas, que es esencialmente reformular cerrado gama y teorema de asignación abierta teorema de la Hilbertian configuración. Cualquier interpretación geométrica de este? Me gustaría saber también.

En Lax-Milgram, la coercitividad es exclusivo del espacio de Hilbert. La configuración de $$ E(v) = \frac{1}{2}a(v,v)-\langle f,v\rangle,\etiqueta{1} $$ se traduce la coercitividad de la forma bilineal $a(\cdot,\cdot)$ a la convexidad de la funcional $E(\cdot)$, por lo que el minimizer existe.

La débil formulación puede ser obtenido a partir de la primera variación de (1) es cero. Desde la física punto de vista, el funcional representa la energía, por ejemplo, la elasticidad, la energía de deformación en el equilibrio es $a(u,u)/2$, y la función de la prueba de $v$ es una perturbación que no cambia el límite de comportamiento de $u$ (Dirichlet o Neumann). Mientras que la primera variación de (1) es cero para cualquier $v$: $$ \lim_{\epsilon \to 0}\frac{d}{d\epsilon} E(u+\epsilon v) = 0 $$ es en realidad el Gâteaux derivado de la $E$ en la dirección de esta perturbación.

Observe también que la representación de Riesz teorema caracteriza esencialmente el elemento en el espacio dual (lado derecho de la ecuación) con la solución de $u$ en el espacio original, de nuevo en el Hilbertian configuración (producto interior). Otra pregunta es tal vez: "¿Cuál es la interpretación geométrica de Riesz?"