Demostrar que no existe una función tal que...

Question

El ejercicio dice así:

• Encontrar una función continua $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\forall c \in \mathbb{R}$ la ecuación de $f(x)=c$ tiene exactamente 3 soluciones;
• Demostrar que no continua la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ existe tal que la ecuación de $f(x)=c$ tiene exactamente dos soluciones $\forall c \in \mathbb{R}$;
• Por lo $n \in \mathbb{N}$ es cierto que una función continua $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\forall c \in \mathbb{R}$ la ecuación de $f(x) = c$ tiene exactamente $n$ soluciones existen?

Para el primer punto he construido una especie de zig-zag de la función que es fácilmente generalizable a todos los impares $n$. Parece verdad para mí que incluso para los números naturales tal función no existe, porque de alguna manera se tendría que "saltar", pero no he logrado formalizar el argumento.

Answer 1

Suponemos que $ f$ es continua y que la ecuación de $ f (x)=c $ siempre tiene al menos dos soluciones, y encontrar una $ c $ para que la ecuación tiene al menos tres soluciones.

Supongamos $ f (x_1)=f (x_2)=0$$ x_1 <x_2$. Desde $ f $ es continua, es limitado en $[x_1, x_2] $, y alcanza su máximo. Deje que este máximo se $ M$. Supongamos por ahora que $ M> 0$, y deje $ m\in [x_1, x_2] $ satisfacer $ f (m)=M $.

Por el teorema del valor intermedio, debe ser $ m_1$ $ m_2$ tal que $ f (m_1)=f (m_2) =M/2$ y la satisfacción de $$ x_1 <m_1 <m <m_2 <x_2. $$

Ahora considere un $ n $ tal que $ f (n)=2M$. Sabemos que $ n\notin [x_1, x_2 ] $, por lo que sin pérdida de generalidad supongamos que $ x_2<n $. La aplicación de la IVT una vez más, debe ser una solución a $ f (x)=M/2$ en el intervalo de $[x_2, n] $. Pero eso significa que tenemos al menos tres soluciones a $ f (x) =M/2$.

Si $ M=0$, se puede aplicar el mismo argumento a $-f $.

Answer 2

Punto dos: Supongamos que dicha función existe. Tomamos nota de que la función tiene que ser surjective y tiene que tener dos raíces (es decir, puntos de $a_1$ $a_2$ tal que $f(a_1,a_2)=0, a_1<a_2$ sin pérdida de generalidad). En el intervalo de $]a_1,a_2[$ la función tiene que tener signo constante (supongo que no, ya que la función es continua y no tiene que ser otra raíz, contradiciendo lo que hemos dicho antes). Por otra parte, ya que por el teorema de Weierstrass la función está limitada en $[a_1,a_2]$ los signos antes de $a_1$ y después de $a_2$ tienen que ser opuestos, ya que de lo contrario la función no se surjective. Supongamos ahora que la función es $>0$ en el intervalo de $[a_1,a_2]$ (no es restrictiva, ya que el argumento es fácilmente replicable si no lo es). La función no puede ser constante en el intervalo, ya que si es así, hay infinidad de puntos para los que la función toma el valor constante y tenemos una contradicción. Veamos, a continuación, cualquier punto en el intervalo que no es un máximo. También tenga en cuenta que si un punto es un máximo que no puede ser cero, por lo que tiene que estar en la parte interior del intervalo. Hay, según nuestra hipótesis, en la mayoría de los dos puntos en los cuales la función tiene un máximo ($m_1$ y $m_2$, $m_1<m_2$). Vamos a llamar a los dos intervalos de $[a_1,m_1]$$[m_2,a_2]$. Dentro de los intervalos, la función tiene que tomar todos los valores entre a$0$$f(m_1)=f(m_2)=M$. Así, por cada punto en $[a_1,m_1]$ $[m_2,a_2]$ hay dos raíces. Pero ya que en el intervalo de $[a_2,+\infty[$ (pero podría ser en $]-\infty,a_1]$, el argumento no cambia) la función toma todos los valores entre a$0$$\infty$, así que hemos encontrado otra raíz y una contradicción.

Tal vez esto es generalizable (por favor, informe de cualquier error que sea).