Calcular : $$ \oint_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{1+z^{10}}}.$$
Si te parece demasiado fácil, entonces sólo tienes que poner pistas.
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Eligiendo la raíz cuadrada que es positiva en el eje real positivo tenemos $${1\over\sqrt{1+z^{10}}}={1\over z^5}(1+z^{-10})^{-1/2}={1\over z^5}\sum_{k=0}^\infty{-1/2\choose k}z^{-10k}\ ,$$ donde la serie binomial converge uniformemente en $\partial D_2$ . Por lo tanto, $$J:=\int_{\partial D_2}{dz\over\sqrt{1+z^{10}}}=\sum_{k=0}^\infty{-1/2\choose k}\int_{\partial D_2}z^{-10k-5}\ dz\ .$$ Como $-10k-5\ne-1$ para todos $k\geq0$ todos los sumandos del lado derecho son cero. De ello se deduce que $J=0$ .
Dennis
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9534
En primer lugar, para que todo esté bien definido, tenemos que fijar la rama de la raíz cuadrada. Se elegirá de manera que para el real $z>0$ tenemos $\sqrt{1+z^{10}}\in\mathbb{R}_{>0}$ .
A continuación vamos a analizar las singularidades del integrando en el complejo $z$ -Avión. Vienen dados por $10$ puntos de la rama de la raíz cuadrada en el círculo unitario, de la forma $z_k=\exp\frac{i\pi(1+2k)}{10}$ , $k=0,\ldots,9$ . Podemos elegir los cortes de la rama como se muestra en la figura siguiente.
Ahora hagamos el cambio de variables $z=1/s$ . El contorno de la integración cambiará la orientación que compensará el signo menos en $dz=-ds/s^2$ y la propia integral se convierte en $$I=\oint_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{1+z^{10}}}=\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^5\sqrt{1+z^{-10}}} =\oint_{|s|=\frac12}\frac{s^3ds}{\sqrt{1+s^{10}}},$$ donde todos los contornos están orientados en sentido contrario a las agujas del reloj. Obsérvese que en el complejo $s$ -plano todos los cortes de rama están fuera del contorno de integración. Además, el punto $s=0$ (que corresponde a $z=\infty$ ) no es un polo. Por lo tanto, podemos reducir el contorno en el $s$ -y concluir que $I=0$ . En cuanto a la variable $z$ que correspondería a la expansión del contorno hasta el infinito.
Anthony Shaw
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858
Considere la función $$ \begin{align} f(z) &=\log(1025)+\sum_{k=0}^9\int_2^z\frac{\mathrm{d}w}{w-\xi^{2k+1}}\\ &=\log(1025)+\int_2^z\frac{10w^9\,\mathrm{d}w}{1+w^{10}}\tag{1} \end{align} $$ donde $\xi=e^{\pi i/10}$ es una primitiva $20^\text{th}$ raíz de $1$ .
El residuo en cada singularidad del integrando es $1$ . Por lo tanto, la integral sobre una trayectoria que rodea todo $10$ singularidades, es $20\pi i$ . Esto significa que $g=e^{-f/2}$ está bien definida sobre cualquier camino que abarque todas las singularidades ya que $e^{-10\pi i}=1$ . Por lo tanto, defina $g$ mediante la integración de $(1)$ sobre cualquier trayectoria que no pase por el interior del círculo unitario.
Desde $(1)$ , $$ f'(z)=\frac{10z^9}{1+z^{10}}\tag{2} $$ Así, $f(z)$ es localmente $\log\left(1+z^{10}\right)$ . Por lo tanto, ya que $g(2)=\frac1{\sqrt{1025}}$ tenemos $$ g(z)=\frac1{\sqrt{1+z^{10}}}\tag{3} $$ está bien definido y es analítico en $\mathbb{C}$ fuera del círculo de la unidad.
Ahora, que tenemos eso $\frac1{\sqrt{1+z^{10}}}$ es analítica fuera del círculo unitario, debería ser sencillo calcular $$ \oint_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{1+z^{10}}}\tag{4} $$ Una pista: considerar el aumento del radio del círculo de integración a $\infty$ .
Una pista: La diferencia de la trayectoria circular grande en sentido contrario a las agujas del reloj y la trayectoria circular pequeña en sentido contrario a las agujas del reloj es la trayectoria de abajo, que encierra la región coloreada en forma de C. Obsérvese que la trayectoria restada, el círculo pequeño, está en la dirección opuesta a la trayectoria circular pequeña en sentido contrario a las agujas del reloj.
$\hspace{4.9cm}$
Las integrales a lo largo de las trayectorias que conectan las trayectorias circulares se anulan entre sí, ya que están a lo largo de los mismos puntos en direcciones opuestas.
Así, la integral a lo largo de la trayectoria circular grande en sentido contrario a las agujas del reloj es igual a la integral a lo largo de la trayectoria circular pequeña en sentido contrario a las agujas del reloj, ya que la función es analítica en la región coloreada.
El valor absoluto de $\frac1{\sqrt{1+z^{10}}}$ en el trayecto exterior es menor que $\frac1{\sqrt{r^{10}-1}}\sim\frac1{r^5}$ y el camino es $2\pi r$ largo, por lo que la integral sobre el camino exterior es $O\left(\frac1{r^4}\right)\to0$ .
